Tutorium Lineare Algebra 2

(1)

Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt¨ №1 Ubung 1.¨

Seien A₁, A₂, . . . , A_k quadratischen×n-Matrizen ¨uber einem K¨orper K. Zeige, daß das Produkt A₁A₂. . . A_k invertierbar ist genau dann, wenn alle A_i invertierbar sind.

Ubung 2.¨

Bestimme die LR-Zerlegung der Matrix

A=







3 2 1 0

−3 −4 0 −1

−6 −6 −2 1

3 0 3 −2





 .

Ubung 3.¨ Sei

A=







0 2 −1 −1

−9 3 −6 3

3 −1 2 0

3 −1 −1 2





 .

Bestimme eine Permutationsmatrix P und Dreiecksmatrizen L, R sodaßP ·A=L·R.

Ubung 4.¨

(a) Sei Aeine invertierbaren×n-Matrix ¨uber einem K¨orper Kund u,v Spaltenvektoren (d.h.n×1-Matrizen), sodaß giltσ = 1 +v^tA⁻¹u6= 0. Zeige, daß (A+uv^t) invertierbar ist und daß

(A+uv^t)⁻¹ =A⁻¹− 1

σA⁻¹uv^tA⁻¹. (b) Wende die Formel an, um die Inversen der Matrizen

A₁ =







2 3 0 1 3 5 0 0 0 0 2 3 0 0 3 5







und A₂ =







2 3 0 1 3 5 0 0 0 0 2 3 1 0 3 5







zu bestimmen.

Ubung 5.¨

(a) Zeige, daß die n×n oberen Dreiecksmatrizen, das sind die Matrizen der Gestalt







∗ ∗ ∗ . . . ∗

∗ ∗ . . . ∗

∗ . . . ∗ . .. ...

∗





 ,

eine Teilalgebra dern×n-Matrizen bilden.

(b) Zeige, daß eine obere Dreiecksmatrix genau dann invertierbar ist, wenn alle Haupt- diagonaleintr¨age von 0 verschieden sind und daß dann die Inverse wieder eine Drei- ecksmatrix ist.

(c) Sei A eine obere Dreiecksmatrix mit ganzzahligen Einträgen und es gelte darüberhinaus, daß die Hauptdiagonaleinträge alle gleich 1 sind. Zeige, daß auch die Inverse lauter ganzzahlige Einträge hat.

1

(2)

f :K^m×n →K^p×q X 7→A·X·B ist linear.

(b) f ist invertierbar genau dann, wennp=m,q=nund sowohlAals auchBinvertierbar ist.

Ubung 7.¨

Gegeben sei die Permutation σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 5 8 4 1 3 6 2 7

(a) Bestimme die Faktorisierung von σ in ein Produkt durchschnittsfremder Zyklen.

(b) Zerlegeσ in ein Produkt von Transpositionen σ=τ_k_r_l_rτ_k_r−1_l_r−1· · ·τ_k₁_l₁ mit 2≤k1 < k2 <· · ·< kr ≤n und li < ki.

(c) Bestimme die Fehlst¨ande von σ sowie signσ.

(d) Bestimme die Hintereinanderausf¨uhrung σ² von σ mit sich selbst und davon die Zy- klenfaktorisierung.

(3)

Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt¨ 2 Ubung 8.¨

Zeige, daß f¨ur invertierbare n×n-Matrizen A, B, C, D gilt: Wenn (A−BD⁻¹C) invertierbar ist, dann ist auch (D−CA⁻¹B) invertierbar und es ist

A⁻¹B(D−CA⁻¹B)⁻¹ = (A−BD⁻¹C)⁻¹BD⁻¹. Ubung 9.¨

Seien

p(x) =x⁷−x⁵+x⁴−x³+x−1 q(x) =x⁸−x⁵−x⁴+x³−2x²+ 2x−2.

Bestimme ggT(p(x), q(x)) mit dem euklidischen Algorithmus ¨uber Q[x] sowie Polynome a(x) und b(x), sodaß a(x)p(x) +b(x)q(x) = ggT(p(x), q(x)).

Ubung 10.¨

Seienp(x) undq(x) nichtverschwindende Polynome vom Gradmundnuber einem K¨¨ orper K. Zeige:

(a) ggT(p(x), q(x)) = 1 genau dann, wenn es Polynomea(x) undb(x) gibt mit der Eigen- schaft, daß a(x)p(x) +b(x)q(x) = 1.

(b) ggT(p(x), q(x)) ist nichttrivial genau dann, wenn es Polynome A(x) und B(x) mit degA(x)< n und degB(x)< m, sodaß A(x)p(x) +B(x)q(x) = 0.

(c) Seienp(x) =p₀+p₁x+· · ·+p_mx^mundq(x) =q₀+q₁x+· · ·+q_nxⁿPolynome vom Grad m und n mit p_m, q_n 6= 0. Zeige, daß p(x) und q(x) einen nichttrivialen gemeinsamen Teiler haben haben genau dann, wenn die (m+n)×(m+n)-Matrix

S(p, q) =







pm 0 · · · 0 qn 0 · · · 0

pm−1 p_m . .. ... qn−1 q_n . .. ... ... pm−1 . .. 0 ... qn−1 . .. 0 p₀ ... . .. p_m q₀ ... . .. q_n

0 p₀ . .. pm−1 0 q₀ . .. qn−1

... ... . .. ... ... ... . .. ...

0 0 · · · p0 0 0 · · · q0







| {z }

n | {z }

m

nichttrivialen Kern hat.

Ubung 11.¨

Eine Matrix P ∈ R^n×n heißt Permutationsmatrix, wenn jede Zeile und jede Spalte genau eine Eins und sonst Nullen enth¨alt. Πn bezeichne die Menge der Permutations- matrizen. Sei Sn die symmetrische Gruppe der Ordnung n und f¨ur σ ∈ Sn bezeichne P_σ = (δ_i,σ(j))i,j=1,...,n die entsprechende Permutationsmatrix. Zeige:

(a) Die Abbildung π :S_n →Π_n, σ 7→P_σ ist eine Bijektion.

(b) P_ρ·P_σ =Pρ◦σ

(c) P_σ⁻¹ =P_σ⁻¹ =P_σ^t

(4)

vorhergehenden Aufgabe. Zeige:

(a) Eine Konvexkombination doppelt stochastischer Matrizen ist doppelt stochastisch;

d.h., wennA₁, A₂, . . . , A_m doppelt stochastische Matrizen sind undλ₁, λ₂, . . . , λ_m ≥0 mit λ₁ +λ₂ +· · ·+λ_m = 1, dann ist auch die Matrix λ₁A₁ +λ₂A₂ +· · ·+λ_mA_m doppelt stochastisch.

(b) Eine Permutationsmatrix kann nicht als nichttriviale Konvexkombination verschie- dener doppelt stochastischer Matrizen dargestellt werden, d.h., wenn P_σ = P

λ_iA_i, dann muß f¨ur die nichtverschwindenden Koeffizienten λi gelten, daßAi =Pσ.

(5)

Lineare Algebra 2 SS2012 Ubungsblatt¨ №3 Ubung 13.¨

Berechne die Determinante

1 2 3

3 2 1

0 −1 −1 mit drei verschiedenen Methoden.

Ubung 14.¨

Bestimme die Determinante

−10 4 3 2 1

3 −10 4 1 2

2 1 −10 4 3

1 3 2 −10 4

4 2 1 3 −10

Ubung 15.¨

Im folgenden bezeichnen P_i = (x_i, y_i) voneinander verschiedene Punkte imR².

(a) Zeige, daß diejenige Gerade g, die durch die Punkte P₁ und P₂ verl¨auft, durch die Gleichung

g =

(x, y)∈R² :

1 x₁ y₁ 1 x₂ y₂

1 x y

= 0

beschrieben werden kann.

(b) Zeige, daß derjenige Kreis k, der durch die Punkte P₁,P₂ und P₃ verl¨auft, durch die Gleichung

k =

(x, y)∈R² :

1 x₁ y₁ x²₁+y₁² 1 x₂ y₂ x²₂+y₂² 1 x₃ y₃ x²₃+y₃² 1 x y x²+y²

= 0

beschrieben werden kann. Was erh¨alt man, wenn die Punkte auf einer Geraden liegen?

(c) Bestimme den Mittelpunkt des Kreises, der durch die Punkte (−4,1), (−2,−3), (4,5) verl¨auft.

Ubung 16.¨

Bestimme die Determinanten

(a)

∗ ∗ ∗ a_n

∗ ∗ . .. 0

∗ a₂ 0 ... a₁ 0 . . . 0

, (b)

∗ ∗ a b

∗ ∗ c d e f 0 0 g h 0 0

(6)

Die Zahlen 46189, 32604, 2431, 40755, 43758 sind durch 13 teilbar. Zeige, daß auch die Determinante

4 6 1 8 9 3 2 6 0 4 0 2 4 3 1 4 0 7 5 5 4 3 7 5 8 durch 13 teilbar ist.

Ubung 18.¨

Seien A, B, C und D∈K^n×n. Zeige die folgenden Identit¨aten f¨ur Blockmatrizen:

(a) det

A B

B A

= det(A+B) det(A−B) (b) det

A B

C D

= detAdet(D−CA⁻¹B) wobei in (b) vorausgesetzt wird, dass A invertierbar ist.

Ubung 19.¨

Berechne die Determinante

a 0 0 0 0 b 0 a 0 0 b 0 0 0 a b 0 0 0 0 c d 0 0 0 c 0 0 d 0 c 0 0 0 0 d Ubung 20.¨

Sei K ein K¨orper unda₁, a₂, . . . , a_n∈K. Zeige, daß

1 a₁ a²₁ . . . aⁿ⁻¹₁ 1 a₂ a²₂ . . . aⁿ⁻¹₂

... ... ... . .. ... 1 a_n a²_n . . . aⁿ⁻¹_n

=Y

i<j

(a_j −a_i)

Ubung 21.¨

Seienp(x) undq(x) die Polynome aus Aufgabe 10 und seienα₁,α₂,. . . ,α_mundβ₁,β₂,. . . ,β_n die Nullstellen vonp undq, wobei wir annehmen, dass es sich dabei umm+n paarweise verschiedene Elemente von K handelt. Zeige durch Multiplikation der MatrixS(p, q) aus Aufgabe 10 mit einer geeigneten (m+n)×(m+n)-Matrix der Gestalt







x^m+n−1₁ x^m+n−2₁ · · · 1 x^m+n−1₂ x^m+n−2₂ · · · 1 . . . . x^m+n−1_m+n x^m+n−2_m+n · · · 1







(¨ahnlich wie in Aufgabe 20), daß detS(p, q) =

Q

ip(β_i)Q

jq(α_j) Q

i,j(β_i−α_j) =pⁿ_mq_n^mY

i,j

(α_i−β_j)

(7)

Ubung 22.¨

L¨ose das Gleichungssystem

−7x1 + 11x2 − 3x3 = 1 4x1 − 8x2 + 3x3 = 0 2x₁ − 3x₂ + x₃ = 2 mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Ubung 23.¨

Bestimme mit m¨oglichst wenig Aufwand die Koeffizienten von x³ und x⁴ in der Determi- nante

5x 1 2 3

x x 1 2

1 2 x 3

x 1 2 2x

(8)

Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix





1 −6 2

−2 −5 6

−1 −6 5





¨uberR und C. Ubung 25.¨ Sei

A=





8 15 −36 8 21 −46 5 12 −27





Bestimme die Eigenwerte und stelle fest, ob A diagonalisierbar ist, und zwar ¨uber den K¨orpern

(a) Q, (b) R, (c) C, (d) Z11, (e) Z17. Ubung 26.¨

Bestimme die Eigenwerte und Vielfachheiten der reellen 100×100-Matrix







1 1 . . . 1

2 2 . . . 2

4 4 . . . 4

... ... . .. ...

2⁹⁹ 2⁹⁹ . . . 2⁹⁹





 .

Ist die Matrix diagonalisierbar? Wenn ja, gib jeweils eine Basis von Links- und Rechtsei- genvektoren an.

Ubung 27.¨

Bestimme Eigenwerte und Eigenvektoren der reellen n×n-Matrix







0 1 1 . . . 1 1 0 1 . . . 1 1 1 0 . . . 1 ... ... ... . .. ...

1 1 1 . . . 0







Ubung 28.¨

Sei A eine regul¨are Matrix. Zeige, daß die Eigenwerte von A⁻¹ gegeben sind durch spec(A⁻¹) ={1/λ:λ∈specA}

Ubung 29.¨

Sei K ein K¨orper undA ∈K^m×n, B ∈K^n×m. Zeige:

(a) AB und BA besitzen die gleichen Eigenwerte (mit der m¨oglichen Ausname von 0).

(b) Wenn dar¨uberhinaus m=n ist, dann stimmen auch die charakteristischen Polynome

¨uberein. (F¨ur den Beweis darf angenommen werden, daß zumindest eine der beiden Matrizen invertierbar ist).

(9)

Ubung 30.¨

SeiAeine reellen×n-Matrix mit der Eigenschaft, daßA² =−I. Bestimme die Eigenwerte von A und zeige, daß n gerade ist.

Ubung 31.¨

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f, g : V → V linear mit f ◦g = g◦f.

Zeige: Ist λein Eigenwert vonf und E_λ der zugeh¨orige Eigenraum, dann istg(E_λ)⊆E_λ.

(10)

Sei K=Z7 und

A=





5 5 3 3 0 3 4 2 6





Bestimme eine MatrixM ∈K^3×3 sodaß M⁻¹AM eine Diagonalmatrix ist.

Ubung 33.¨

Die Exponentialfunktion einer reellen oder komplexen Matrix ist definiert durch expA= P∞

n=0 Aⁿ

n!. Berechne expA f¨ur die Matrix A=

0 −α

α 0

mit α∈R. Ubung 34.¨

Bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Abbildung S :C^∞→C^∞

(z1, z2, . . .)7→(z2, z3, . . .) Ubung 35.¨

Sei A eine n×n-Matrix ¨uber einem K¨orper K,v ein Links- und wein Rechtseigenvektor zu verschiedenen Eigenwerten λ und µ, d.h.^†

v^tA=λv^t Aw=µw.

Zeige, daß v^tw= 0.

Ubung 36.¨

(a) Sei V ein Vektorraum und f : V → V eine lineare Abbildung, sodaß jeder Vektor v ∈V ein Eigenvektor ist. Zeige, daßf ein Vielfaches der identischen Abbildung ist.

(b) Sei A eine n×n-Matrix, sodaß jeder (n−1)-dimensionale Unterraum invariant ist.

Zeige, daß A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.

Hinweis: Gegenteil annehmen und (a) benutzen.

Ubung 37.¨

Sei A eine n×n-Matrix über einem Körper K. Zeige, daß folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) A besitzt Rang 1

(ii) Der Eigenwert 0 hat geometrische Vielfachheit n−1 (iii) Es gibt Vektoren v, w∈Kⁿ\ {0}sodaß^† A=vw^t.

Wieviele weitere Eigenwerte gibt es? Wie sehen ggf. die zugeh¨origen Eigenvektoren aus?

Ubung 38.¨

SeiAeine diagonalisierbaren×n-Matrix ¨uber einem K¨orperKmit (Rechts-)Eigenvektoren v1, v2, . . . , vn. Zeige, daß A auchn Linkseigenvektoren besitzt.

†Hier werden Spaltenvektoren alsn×1-Matrizen aufgefaßt

(11)

Sei A ∈ K^n×n eine diagonalisierbare Matrix. Zeige, daß es Matrizen E₁, E₂, . . . , E_n vom Rang 1 gibt, sodaß

A=λ1E1 +λ2E2+· · ·+λnEn

wobeiλ₁, λ₂, . . . , λ_n die Eigenwerte vonA sind und daß dar¨uberhinaus f¨ur allek∈N gilt A^k=λ^k₁E₁+λ^k₂E₂+· · ·+λ^k_nE_n.

Bestimme diese Matrizen f¨ur die Matrix A aus Beispiel 32.

YYY

Im Rest dieses Übungsblatts sei der Einfachheit halber ebenfalls angenommen, daßAeine diagonalisierbare Matrix über einem Körper K ist.

Ubung 40.¨

(a) Sei χ_A(x) das charakteristische Polynom. Zeige, daß χ_A(A) = 0 (Nullmatrix).

(b) Sei p(x) ein Polynom und λ ein Eigenwert von A. Zeige, daß p(λ) ein Eigenwert von p(A) ist.

Ubung 41.¨ (a) Sei

Ann(A) = {p(x) = a₀+a₁x+· · ·+a_n−1xⁿ⁻¹+xⁿ :p(A) = 0}

die Menge aller Polynome mit f¨uhrendem Koeffizienten 1, sodaß nach Einsetzen von A die Nullmatrix herauskommt. Zeige, daß es in Ann(A) ein eindeutiges Polynom m_A(x) mit minimalem Grad gibt, das alle anderen Polynome in Ann(A) teilt.

Hinweis: Divisionsalgorithmus.

(b) Zeige, daß die Nullstellen des in Teil (a) gefundenen Polynomes mA(x) genau die Eigenwerte von A sind.

(c) Gib ein Beispiel einer Matrix A, f¨ur die m_A(x)6=χ_A(x).

Ubung 42.¨

Zeige, daß im Fall, daß A invertierbar ist, die inverse Matrix als Polynom A⁻¹ =b₀+b₁A+· · ·+b_mA^m

geschrieben werden kann.

(12)

Eine Matrix A∈R^10×10 erf¨ulle die folgenden Gleichungen:

dim ker(A−I)¹ = 2 dim ker(A−I)² = 4 dim ker(A−I)³ = 5 dim ker(A−I)⁴ = 6 dim ker(A−2I)¹ = 2 dim ker(A−2I)² = 3 dim ker(A−2I)³ = 4

Wie lautet die Jordansche Normalform von A?

Ubung 44.¨

(a) Berechne die Jordansche Normalform der folgenden Matrix:

A:=







2 1 1 0 1 0 2 0 0 −1 0 0 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2







(b) Finde eine regul¨are Matrix M ∈ R^5×5, sodass M⁻¹AM die Jordansche Normalform von A ist.

Ubung 45.¨

(a) Sei A∈C^n×n beliebig. Zeige, dass es eine diagonalisierbare Matrix Dund eine nilpo- tente Matrix N gibt mit A=D+N und DN =N D.

(b) Zeige, daß expA= expD·expN

(c) Stelle die Matrix A aus Aufgabe 44 als Summe von entsprechenden Matrizen dar.

(d) Berechne expA f¨ur die Matrix A aus Aufgabe 44.

Ubung 46.¨

(a) Seien A, B ∈ C^n×n beliebig. Zeige, dass A und B genau dann ¨ahnlich sind (d. h. es gibt eine regul¨are MatrixM ∈C^n×nmit B =M⁻¹AM), wenn sie dieselbe Jordansche Normalform haben.

(b) Zeige unter Verwendung von a), dass jede Matrix A ∈ C^n×n zu ihrer transponierten MatrixA^t∈C^n×n ¨ahnlich ist.

Ubung 47.¨

Zeige, daß das charakteristische Polynom der Matrix

A=







a1 a2 . . . am−1 am

1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 ... . .. ...

0 . . . 1 0







gegeben ist durch

χ_A(x) = (−1)^m(x^m−a₁x^m−1−a₂x^m−2− · · · −am−1x−a_m).

(13)

Ubung 48.¨

L¨ose die lineare Rekursion

x_n+4 = 24x_n+3−210x_n+2+ 800x_n+1−1125x_n f¨ur n≥0 und die Anfangswerte x₀ = 2, x₁ = 9, x₂ = 106,x₃ = 1229.

(14)

(a) Sei A eine quadratische Matrix ¨uber C und A˜=

A I 0 A

die mit der entsprechenden Null- und Einheitsmatrix erg¨anzte Blockmatrix. Zeige, daß f¨ur ein beliebiges Polynom p(x) gilt

p( ˜A) =

p(A) p⁰(A) 0 p(A)

, wobei p⁰(x) die Ableitung bezeichnet.

(b) Sei m_A(x) = Q

(x −λ_i)^kⁱ das Minimalpolynom der Matrix A (siehe Aufgabe 41).

Zeige, daß das Minimalpolynom der oben definierten Blockmatrix ˜Agegeben ist durch mA˜(x) = Q

(x−λ_i)^kⁱ⁺¹.

Hinweis: Es darf die Tatsache verwendet werden, daßx₀ Nullstelle der Vielfachheit m eines Polynomsp(x) ist genau dann, wenn f¨ur die Ableitungen an der Stelle x₀ gilt

p^(k)(x0)

(= 0 ∀0≤k < m 6= 0 k =m Ubung 50.¨

Eine quadratische Form auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum mit gegebener Basis ist eine Funktion Q:V →R, die bez¨uglich dieser Basis als homogenes quadratisches Polynom p(x₁, x₂, . . . , x_n) in den Koordinaten darstellbar ist. Homogen heißt, daß nur Terme der Ordnung 2 vorkommen, d.h., p(λx₁, λx₂, . . . , λx_n) =λ²p(x₁, x₂, . . . , x_n).

(a) Zeige, daß diese Definition nicht von der Wahl der Basis abhängt, d.h., daß eine quadratische Form bezüglich einer gewählten Basis auch bezüglich jeder beliebigen anderen Basis als homogenes quadratisches Polynom darstellbar ist. Wie sieht das entsprechende Polynom nach der Basistransformation aus?

(b) Sei B(x, y) eine Bilinearform auf V. Zeige, daß Q(x) = B(x, x) eine quadratische Form ist.

(c) SeiQ(x) eine quadratische Form. Zeige, daßF(x, y) = (Q(x+y)−Q(x)−Q(y))/2 eine symmetrische Bilinearform definiert. Was erh¨alt man, wenn man diese Konstruktion auf die quadratische Form aus Teil (b) anwendet?

Ubung 51.¨

Sei V der Vektorraum der symmetrischen reellen 2×2-Matrizen. Zeige, daß det :V →R eine quadratische Form ist und bestimme die zugeh¨orige symmetrische Bilinearform aus Aufgabe 50c, inklusive der Matrix derselben bez¨uglich der Basis

1 0 0 0

,

0 0 0 1

,

0 1 1 0

(15)

Ubung 52.¨

Sei T die Drehung mit Matrixdarstellung T =

0 −1

1 0

.

(a) Bestimme alle symmetrischen Bilinearformenhx, yiaufR², sodaß f¨ur allex∈R² gilt, daß hx, T xi= 0.

(b) Bestimme alle Sesquilinearformen hx, yi auf C², sodaß f¨ur alle x ∈ C² gilt, daß hx, T xi= 0.

Ubung 53.¨

Zeige, daß f¨ur beliebiges fixiertes k ∈N die Abbildung B_k(x, y) =

n

X

i,j=0

x_iy_j i+j +k

eine positiv definite Bilinearform auf Rⁿ⁺¹ ={(x₀, x₁, . . . , x_n) :x_i ∈R} darstellt.

Hinweis: Um Positivit¨at zu zeigen, ist es vorteilhaft, die Vektoren zun¨achst als geeignete Polynome zu interpretieren und letztere miteinander zu multiplizieren.

Ubung 54.¨

Sei V ein Vektorraum mit innerem Produkt h., .i. Zeige, daß eine Familie von Vektoren v1, v2, . . . , vn∈V linear unabh¨angig ist genau dann, wenn die Matrix

(hv_i, v_ji)i,j=1,...,n =







hv₁, v₁i hv₁, v₂i . . . hv₁, v_ni hv₂, v₁i hv₂, v₂i . . . hv₂, v_ni

... ...

hv_n, v₁i hv_n, v₂i . . . hv_n, v_ni







vollen Rang besitzt.

(16)

Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. Beweise die folgenden Aussagen:

(a) A⊆B =⇒ B^⊥⊆A^⊥. (b) A⊆(A^⊥)^⊥.

(c) A^⊥ = ((A^⊥)^⊥)^⊥ Ubung 56.¨

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum ¨uber R mit gegebener Basis B = {b₁, b₂, . . . , b_n} und F :V ×V →R eine Bilinearform. Sei

R ={v ∈V :F(u, v) = 0∀u∈V}

Zeige, daßR ={0}genau dann, wenn die MatrixA= (F(b_i, b_j))i,j=1,2,...,n invertierbar ist.

Ubung 57.¨ Sei

Tr(A) =

n

X

i=1

a_ii

die Spur einer reellen oder komplexen n×n-MatrixA. Zeige:

(a) Tr :K^n×n→K ist linear und f¨ur A∈K^n×m, A∈K^m×n gilt Tr(AB) = Tr(BA), aber im Allgemeinen nicht Tr(ABC) = Tr(ACB).

(b) F¨ur n×n-MatrizenA, B mit B invertierbar gilt Tr(B⁻¹AB) = Tr(A).

(c) Zeige, daß es keine Matrizen A und B gibt, sodaß AB−BA=I.

(d) Finde eine reelle Matrix A, sodaß Tr(A²)<0.

(e) Sei K= R. Zeige daßhA, Bi= Tr(B^tA) ein positiv definites Skalarprodukt auf dem Raum der Matrizen definiert.

(f) SeiS ={A∈R^n×n :A=A^t}der Unterraum der symmetrischen Matrizen. Bestimme S^⊥bez¨uglich des Skalarprodukts aus (e), d.h., den Unterraum{B ∈R^n×n : Tr(AB) = 0 ∀A∈S}.

Ubung 58.¨

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum ¨uber R und U, W ⊆ V zwei m-dimensionale Un- terr¨aume. Zeige: Wenn es u ∈ U \ {0} gibt mit u ⊥ W, dann gibt es w ∈ W \ {0} mit w⊥U.

Ubung 59.¨

Bestimme eine Orthonormalbasis des R⁴ bez¨uglich des Skalarprodukts hx, yi=x^tAy

wobei

A=







1 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0 0 2 0 5







durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die kanonische Basis.

(17)

Bestimme die Projektion des Vektors (1,−1,1,−1) auf den durch die Gleichungen x₁−x₂+x₃−x₄ = 0

x₁+x₃+x₄ = 0 gegebenen Unterraum desR⁴.

Ubung 61.¨

(a) Bestimme eine Orthonormalbasis des von den Polynomen{1, x, x², x³}aufgespannten Unterraums W ⊆R[x] bez¨uglich des Skalarprodukts

hp(x), q(x)i= Z 1

0

p(x)q(x)dx

(b) Bestimme die Matrix der Orthogonalprojektion P : W → W auf den Unterraum W₀ ={p(x)∈W :p(x) =p(1−x)}bez¨uglich der Basis {1, x, x², x³}.

Ubung 62.¨

Sei f(x)≥0 eine stetige Funktion auf [0,1], die nicht ¨uberall verschwindet.

(a) Zeige, daß auf dem Vektorraum R[x] der reellen Polynome durch hp, qi=

Z 1

0

f(x)p(x)q(x)dx ein positiv definites Skalarprodukt erkl¨art wird.

(b) Sei p_n(x) eine Folge von Polynomen der Gestalt

pn(x) =xⁿ+an,n−1xⁿ⁻¹+· · ·+an,1x+an,0

mit der Eigenschaft, daß hp_m, p_ni = 0 f¨ur m 6= n. Zeige, daß es Zahlen α_n, β_n gibt sodaß

xpn(x) =pn+1(x) +αnpn(x) +βnpn−1(x) (c) Zeige, daß dabei β_n>0 sein muß.

Ubung 63.¨

Sei V ein euklidischer Vektorraum und w∈V ein Einheitsvektor. Wir definieren S_w :V →V

v 7→v−2hv, wiw (a) Zeige, daß S_w eine lineare isometrische Abbildung ist.

(b) Zeige, daß Sw◦Sw = idV und Sw orthogonal ist.

(c) Zeige, daß ∀v ∈ span{w} gilt Sw(v) = −v und ∀v ∈ w^⊥ hingegen Sw(v) = v. Wie kann manS_w geometrisch interpretieren?

Ubung 64.¨

Sei V = R² und f : V → V die lineare Abbildung mit Matrixdarstellung A = (¹_{2 1}⁻¹) Bestimme die zu f adjungierte Abbildung bez¨uglich des inneren Produktshu, vi=u^tM v wobei M = (^{5 2}_{2 1}).

(18)

Sei V =R[x] mit dem Skalarprodukthf, gi=R1

0 f(x)g(x)dxund D:V →V, D(f) = f⁰ die Ableitung.

(a) Bestimme die adjungierte Abbildung der Einschr¨ankung D|_W auf den Unterraum W ={f ∈V :f(0) =f(1) = 0}.

(b) Zeige, daß es kein Polynom g ∈V gibt sodaßhg, fi=f(0) f¨ur allef ∈V. (c) Zeige, daß D:V →V keine adjungierte Abbildung besitzt.

(d) Bestimme die zu D adjungierte Abbildung auf dem Unterraum R[x]₁ der Polynome vom Grad ≤1.

Ubung 66.¨ Sei

A=





7 4 −4

4 1 8

−4 8 1





Bestimme eine unit¨are Matrix U, sodaß U^∗AU diagonal ist.

Ubung 67.¨

Zeige: Eine komplexe Matrix A ist normal genau dann, wenn ReA = ^A+A₂ ^∗ und ImA =

A−A^∗

2i miteinander kommutieren.

Ubung 68.¨

Zeige oder widerlege: Eine Matrix ist unit¨ar genau dann, wenn sie normal ist und alle Eigenwerte Betrag 1 haben.

Ubung 69.¨

Sei A∈R^m×m, B ∈R^m×n, D∈R^n×n. Zeige, daß die Blockmatrix A B

0 D

normal ist genau dann, wenn B = 0 und sowohl A als auch D normal sind.

Ubung 70.¨

Zeige, daß eine komplexe Matrix A normal ist genau dann, wenn ein Polynom p(x) exi- stiert, sodaß p(A) =A^∗ ist.

Hinweis: Interpolation.

Ubung 71.¨

Zeige, daß eine komplexe Matrix A normal ist genau dann, wenn es eine unit¨are Matrix U gibt sodaßA^∗ =AU.

(19)

SeiA eine selbstadjungierte positiv semidefinite Matrix. Zeige, daß max_i,j|a_ij|= max_ia_ii. Ubung 73.¨

(a) Zeige: Eine MatrixA∈C^n×n ist genau dann positiv semidefinit, wenn es Spaltenvek- toren x₁, x₂, . . . , x_m ∈C^n×1 gibt, sodaß

A=

m

X

i=1

x_ix^∗_i

(b) Seien A, B ∈C^n×n positiv semidefinit. Zeige, daß die Matrix A◦B := (a_ijb_ij)ⁿ_i,j=1

ebenfalls positiv semidefinit ist. Hinweis: Teil (a) kann hilfreich sein.

Ubung 74.¨

Sei A eine positiv definite Matrix. Zeige, daß es eine positiv definite MatrixB gibt sodaß B² =A.

Ubung 75.¨

Sei B ∈R^m×n. Zeige, daß die Blockmatrix Im B

B^t I_n

genau dann positiv definit ist, wenn die Eigenwerte von B^tB kleiner als 1 sind.

Ubung 76.¨

Bestimme die Choleskyzerlegung der Matrix





1 3 0

3 13 2

0 2 5



.

Ubung 77.¨

Bestimme die kleinsten Konstanten Cpq(n), p, q ∈ {1,2,∞}, sodaß f¨ur alle x∈Rⁿ gilt kxk_p ≤C_pq(n)kxk_q,

wobei

kxk₁ =

n

X

i=1

|x_i| kxk₂ = ⁿ

X

i=1

|x_i|² 1/2

kxk_∞= max

i |x_i| Ubung 78.¨

Sei kAk_F = Tr(A^tA)^1/2 die vom Skalarprodukt aus Aufgabe 57 (e) induzierte Norm auf R^n×n und kAk die Spektralnorm (p

λ_max(A^tA)).

(a) Zeige, daß f¨ur eine beliebige Matrix A gilt kAk ≤ kAk_F ≤√

nkAk.

(b) Zeige, daß f¨ur eine beliebige Matrix A und eine beliebige symmetrische MatrixS gilt

A− A+A^t 2

≤ kA−Sk.

(c) Sei A invertierbar. Zeige, daß f¨ur die Eigenwerte von A gilt A⁻¹

−1 ≤ |λ| ≤ kAk.

(20)

Bestimme den Typ und die Normalform der Quadrik

x²₁+ 8 x₁ x₂+ 8 x₁ x₃ + 4 x₁+ 7 x²₂−4 x₂ x₃−38x₂−2 x²₃−20x₃−6 = 0 sowie die Transformation (Drehung + Translation), die sie in die Normalform ¨uberf¨uhrt.

Ubung 80.¨

Sei K der Drehkegel im R³, der durch Rotation der Geraden y = 2x um die x-Achse entsteht. Bestimme den Typ des Kegelschnitts, der durch Schnitt dieses Kegels mit der Ebenex+y+z = 3 entsteht.

Hinweis: Ebene mit einer Orthogonalbasis parametrisieren.

Ubung 81.¨

Zeige, daß eine nichtnegative n×n-Matrix genau dann irreduzibel ist, wenn der gerich- tete Graph G = (V, E) mit V = {1,2, . . . , n} und E = {[i, j] : a_ij > 0} stark zusam- menh¨angend ist.

Ubung 82.¨

(a) Sei A strikt nichtnegativ, d.h., alle a_ij >0. Zeige, daß die Inverse von A nicht nichtnegativ sein kann.

(b) Sei A eine nichtnegative stochastische Matrix mit nichtnegativer Inverser. Zeige, daß A eine Permutationsmatrix sein muß.

Ubung 83.¨

Welche der folgenden Matrizen sind irreduzibel/primitiv?

(a) A1 =







0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0







(b) A2 =







0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 3 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0







(c) A₃ =







0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 0 0







(d) A₄ =







0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 0







Bestimme die zugeh¨origen Graphen und soweit m¨oglich auch die Eigenwerte.

Ubung 84.¨

Sei A eine irreduzible nichtnegative n×n-Matrix. Zeige:

(a) A ist primitiv, wenn zumindest einer der Diagonaleintr¨age nicht null ist.

(b) Die Umkehrung gilt f¨urn= 2, aber nicht f¨ur n≥3.

(21)

Tutorium Lineare Algebra 2

Stefan Rosenberger

Erste Einheit

5. M¨arz 2012

Beispiel 3

Zuerst wollen wir uns den Beweis aus der VO genauer ansehen: Aus dem Gauss-Algorithmus erhalten wir f¨ur einen×n- Matrix eine Folge von Dreiecks-Matrizen und Permutations-Matrizen, sodass es eine obere DreiecksmatrixRgibt mit der Darstellung:

R=F_r(T_r,i_rF_r−1)(T_r−1,i_r−1F_r−2). . .(F₁T_1,i₁)A

Wenn wir uns diese Zerlegung etwas genauer ansehen erhalten wir, daT_i,kT_i,k=idgilt folgt Fr(Tr,i_rF_r−1)(T_r−1,i_r−1F_r−2). . .(F1T1,i₁) =Fr(Tr,i_rF_r−1Tr,i_r)Tr,i_r(T_r−1,i_r−1F_r−2). . .(F1T1,i₁)

=FrF_r−1⁰ (Tr,irTr−1,ir−1Fr−2Tr−1,ir−1Tr,ir)(Tr,irTr−1,ir−1. . .(F1T1,i1)

=FrF_r−1⁰ F_r−2⁰ . . . F₁⁰(Tr,i_rT_r−1,i_r−1. . . T1,i₁).

Somit erhalten wir eine Darstellung:

R=LP A ⇐⇒ L⁻¹R=P A ⇐⇒ P^TL⁻¹R=A (Bemerkung: Offensichtlich gilt: (P₁P₂. . . P_n)⁻¹= (P₁P₂. . . P_n)^T).

Nun betrachten wir folgendes Beispiel: Bestimme eine Permutations-Matrix P und Dreiecksmatrizen L, Rsodass

P A=P







0 12 0 −8

3 1 −3 5

12 4 4 4

6 5 3 −10







=LR

Wir k¨onnen nun zwei Varianten anwenden um das Problem zu l¨osen:

1. Wir berechnen Schrittweise die Permutations- und Frobenius-Matrizen bis wir eine obere Dreiecks- matrix erhalten. Danach berechnen wir jeweils die Permutierten Frubenius-Matrizen (T LT =L⁰), invertieren das Produkt dieser und erhaltenP A=LR. Dies ist im Prinzip gleich wie in Beispiel 2.

2. Die zweite M¨oglichkeit ist es sich zu ¨uberlegen wie der Algorithmus genau aussieht:

Wenn man in jeden Schritt eineUmformung macht, so bekommt man f¨urA eine Folge von Dar- stellungen (wobeiR_ikeine oberen Dreiecksmatrizen sind, erst f¨uri=r):

A= [P0|L0|R0] A= [P₁|L1|R1]

...

A= [Pr|Lr|Rr]

Man kann sich leicht überlegen (VO Lineare Algebra 1) wie die MatrizenLiaussehen müssen (Ein- träge sind die additiv inversen Einträge der Frobeniusmatrizen, und dasPi durch vertauschen der

1

(22)

Dazu fassen wir die drei Matrizen in eine Große zusammen. Die erste Matrix steht für die Per- mutationsmatrix in der die Spalten vertauscht werden. Die zweite Matrix steht für das inverse Produkt der Frobeniusmatrizen. Die dritte Matrix ist die durch Gauß veränderte MatrixA:

[P0|L0|R0] =







1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 12 0 −8

3 1 −3 5

12 4 4 4

6 5 3 −10







Zuerst wird die dritte Zeile mit der Ersten vertauscht, f¨ur unser P bedeutet das, dass die dritte Spalte und die 1. Spalte tauschen:

[P1|L˜0|R˜0] =







0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

12 4 4 4

3 1 −3 5

0 12 0 −8

6 5 3 −10







−1/4·1.Zeile bleibt gleich

−1/2·1.Zeile

Damit erhalten wir (wobei bei der mittleren Matrix dieadditiv inversenEintr¨age des Algorithmus geschrieben wird) :

[P₁|L₁|R₁] =







0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0

1/4 1 0 0 0 0 1 0

1/2 0 0 1

12 4 4 4

0 0 −4 4

0 12 0 −8

0 3 1 −12







Nun wird die 3. mit der 2. Zeile vertausch (bei P tauschen wir wieder die Spalten):

[P2|L˜1|R˜1] =







0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 0

1/4 0 1 0

1/2 0 0 1

12 4 4 4

0 12 0 −8

0 0 −4 4

0 3 1 −12







−1/4·2.Zeile Damit erhalten wir:

[P2|L2|R2] =







0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

1/4 0 1 0

1/2 1/4 0 1

12 4 4 4

0 12 0 −8

0 0 −4 4

0 0 1 −10







+1/4·3.Zeile Nun brauchen wir keine Zeilen zu vertauschen,P bleibt also gleich:

[P3|L3|R3] =







0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

1/₄ 0 1 0

1/₂ ¹/₄ -¹/₄ 1

12 4 4 4

0 12 0 −8

0 0 −4 4

0 0 0 −9







Und schließlich folgt:

A=P₃L₃R₃ ⇐⇒ P₃^TA=L₃R₃

Esleicht zu ¨uberpr¨ufen ob man einen Fehler gemacht hat, denn nach jedem Schritt muss gelten A=P_iL_iR_i

2