Bestimmen Sie die Matrix zu Sφ bez¨uglich der Standardbasis

W. Werner und T. Timmermann SS 13 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker II

Blatt 3

Abgabe bis Freitag, 03. Mai, 12 Uhr

F¨ur die am 1. Mai ausfallenden ¨Ubungsgruppen findet am Dienstag, den 30.4., von 8 bis 10 eine ¨Ubung im M3 statt.

Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. (a) Seien V, W Vektorr¨aume und Φ : V → W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass dann das Bild Im Φ ⊆ W ein Untervek- torraum ist.

(b) Sei φ ∈[0,2π] und bezeichne S_φ:R² →R² die Spiegelung entlang der GeradenR

cosφ sinφ

⊆R². Bestimmen Sie die Matrix zu S_φ bez¨uglich der Standardbasis. (Hinweis: Schreiben SieS_φals Verkn¨upfung von (i) Drehungen und (ii) der Spiegelung entlang der x-Achse und benutzen Sie die in der Vorlesung erhaltenen Matrizen f¨ur (i) und (ii).)

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung Aufgabe 2. Wir betrachten C als reellen Vektorraum.

(a) Sei z = x +iy ∈ C und Φ_z: C → C gegeben durch Φ_z(z⁰) = zz⁰. Bestimmen Sie die Matrix von Φ_z bez¨uglich der Basis {1, i} von C. (b) Pr¨ufen Sie, dassM_zz⁰ =M_zM_z⁰ undM_z+z⁰ =M_z+M_z⁰ f¨ur allez, z⁰ ∈C

gilt, wobei M_z und M_z⁰ die Matrizen zu Φ_z und Φ_z⁰ seien.

(c) Sei z 6= 0 und Ψ : C→C definiert durch Ψ(z⁰) = z⁰/z. Bestimmen Sie die Matrix von Ψ_z bez¨uglich der Basis {1, i} von C.

Aufgabe 3. Sei n ∈ N und P_n der Vektorraum aller Polynome der Form Pn

j=0λjt^j mit λ0, . . . , λn ∈C sowieD: Pn→Pn der Ableitungsoperator.

(a) Zeigen Sie: {1,1−X,(1−X)², . . . ,(1−X)ⁿ} ist eine Basis von P_n. (b) Bestimmen Sie die Matrix zu D bez¨uglich dieser Basis.

(c) Zeigen Sie: D ist nilpotent in dem Sinn, dassD^k = 0 f¨ur eink ∈N. Aufgabe 4. Wir betrachten M₂(R) als Vektorraum bez¨uglich der kompo-

nentenweisen Addition und Skalarmultiplikation. Bestimmen Sie f¨ur die linearen Abbildungen Φ,Ψ,Λ : M₂(R)→M₂(R), definiert durch

Φ(B) = AB, Ψ(B) =BA, Λ(B) = AB−BA, wobei A= 1 2

0 3

,

jeweils die Darstellungsmatrix bez¨uglich der Basis E₁ =

1 0 0 0

, E₂ = 0 1

0 0

, E₃ = 0 0

1 0

, E₄ = 0 0

0 1

.

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