Lineare Algebra 2 12. Tutorium
Die Matrix-Exponentialfunktion
Prof. Dr. A. Kollross Fachbereich Mathematik
K. Schwieger, T. Felber 06./07. Juli 2010
Lösung 1 Konvergenz der Exponentialreihe
a) FürA∈MN(C)und06=x∈CN istx/kxkein Einheitsvektor, und somit gilt kAxk=kA(x/kxk)k · kxk ≤ kAkop· kxk. Für MatrizenA,B∈MN(C)folgt damit
kABkop=max
kAB xk:x∈CN,kxk ≤1 ≤max
kAkop· kB xk:x∈CN,kxk ≤1 =kAkop· kBkop. Mit vollständiger Induktion folgt daraus insbesonderekAnkop≤(kAkop)nfür allen∈N. Mit der Cauchy-Schwarz- Ungleichung ergibt sich dann
Anx,y
≤ kAnxk y
≤ kAnkop· kxk · y
≤(kAkop)n· kxk · y
.
b) Die ReiheP∞ n=0Cn
n! · kxk · y
=eCkxk · y
ist eine konvergente Majorante fürP∞
n=0|〈Anx,y〉|
n! . Somit konvergiert die ReiheQ(x,y)für alle x,y ∈CN. Weil die Abbildungen(x,y)7→
Anx,y
mitn∈Nsequilinear sind, sieht man mit Hilfe der Grenzwertsätze sofort, dassQeine Sequilinearform ist.
Lösung 2 Eigenschaften der Exponentialfunktion
a) Für eine DiagonalmatrixD=diag(λ1, . . . ,λN)giltDn=diag(λn1, . . . ,λnN)und damit
n
X
k=0
Dk k! =
Pn
k=0λk1/k!
Pn
k=0λ2k/k!
...
Pn
k=0λkN/k!
Für den Grenzwert der Exponentialfunktion folgt
exp(D) = X∞
n=0
Dn n! =
P∞
n=0λ1n/n!
P∞ n=0λ2n/n!
...
P∞
n=0λnN/n!
=
eλ1
eλ2 ...
eλN
Die MatrixAist nilpotent mitA3=0. Die Reihe fürexp(A)ist damit nur eine endliche Summe.
exp(A) =E+A+12A2=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
Die Folgenden Identitäten sind u.U. durch ein Grenzwertargument oder über die Eindeutigkeit der Matrix einer quadra- tischen Form (siehe Aufgabe 1) zu rechtfertigen.
1
b)
exp(A∗) = X∞
n=0
(A∗)n n! =
X∞
n=0
(An)∗ n! =X∞
n=0
An n!
∗
=exp(A)∗.
c)
exp(S−1AS) = X∞
n=0
(S−1AS)n n! =
X∞
n=0
S−1AnS
n! =S−1X∞
n=0
An n!
S=S−1exp(A)S.
d)
exp(A)B=X∞
n=0
An n!
B= X∞
n=0
AnB n! =
X∞
n=0
BAn n! =B
X∞
n=0
An
n! =Bexp(A). Die binomisch Formel zeigt man leicht direkt mit vollständiger Induktion. Dann folgt
exp(A+B) = X∞
n=0
(A+B)n n! =
X∞
n=0 n
X
k=0
1 n!
n k
AkBn−k= X∞
n=0 n
X
k=0
Ak k!
Bn−k (n−k)!
= X∞
i,j=0
Ai i!
Bj j! =X∞
i=0
Ai i!
X∞
j=0
Bj j!
=exp(A)·exp(B).
DaAundB:=−Akommutieren, folgt daraus insbesondereeA·e−A=eA−A=e0=E, d.h.e−Aist die Inverse voneA. Lösung 3 Bestimmung vonexp(A)
Beim Potenzieren einer Diagonal-Blockmatrix werden nur die einzelnen Blöcke potenziert. Insbesondere folgt also
exp
J1 0 0 J2
= X∞
n=0
1 n!
J1 0 0 J2
n
= X∞
n=0
1 n!
J1n 0 0 J2n
=
exp(J1) 0 0 exp(J2)
Einen einzelnen d×d-Jordanblock können wir in die entspr. Diagonalmatrix und den nilpotenten Anteil J = D+R zerlegen:
λ 1
λ ...
... 1 λ
=λE+
0 1
0 ...
... 1 0
.
WeilDein Vielfaches der Einheitsmatrix ist, kommutiertDinsbesondere mitR. Es gilt alsoeJ =eD+R=eD·eR=eλ·eR. Für den nilpotenten AnteilRverschwindet died-te Potenz, d.h.Rd=0. Die Exponentialreihe ist also eine endliche Summe.
Speziell für die JordanblöckeJ1=D1+R1undJ2=D2+R2aus dem Beispiel gilt exp(R1) =E+R1=
1 1 0 1
, exp(R2) =E+R2+12R22=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
.
Insgesammt ergibt für die MatrixAergibt sich damit
exp(A) =
exp(J1)
exp(J2)
=
e0exp(R1)
e2exp(R2)
=
1 1 0 1
e2 e2 e2 0 e2 e2 0 0 e2
.
2
