Numerische Analysis & Differentialgleichungen

Prof. Dr. Etienne Emmrich Universit ¨at Bielefeld Dipl.-Math. Christopher Hartleb

Numerische Analysis & Differentialgleichungen

Wintersemester 2011/12 Ubungsblatt 7¨

Die L¨osungen sind vor dem Tutorium am05./06.12.2011abzugeben.

Aufgabe 7.1[Gronwallsches Lemma, diskrete Versionen] (3 Punkte) Beweise die folgenden diskreten Versionen des Gronwallschen Lemmas in Analogie zu den f ¨ur das Kontinuierliche aus der Vorlesung bekannten Beweisen. Seien{a_n}_n∈N,{b_n}_n∈N,{g_n}_n∈N reelle Zahlenfolgen,τ >0undλ∈R. Es gilt:

a) Aus

a_n≤b_n+λτ

n−1

X

j=0

a_j, n= 0,1,2, ...

undλ >0folgt

an≤bn+λτ

n−1

X

j=0

(1 +λτ)^n−j−1bj, n= 0,1,2, ...

b) Aus

an≤bn+λτ

n−1

X

j=0

aj, n= 0,1,2, ...

undλ >0mitλτ <1folgt

a_n≤b_n+ λτ 1−λτ

n−1

X

j=0

(1−λτ)^−n+jb_j, n= 0,1,2, ...

c) Aus

an+1−an

τ ≤g_n+λa_n, n= 0,1,2, ...

und1 +λτ >0folgt

an≤(1 +λτ)ⁿ



a0+

n−1

X

j=0

(1 +λτ)^−j+1gj



, n= 0,1,2, ...

d) Aus

a_n+1−a_n

τ ≤g_n+1+λa_n+1, n= 0,1,2, ...

und1−λτ >0folgt

an≤(1−λτ)⁻ⁿ



a0+

n−1

X

j=0

(1−λτ)^jgj+1



, n= 0,1,2, ...

Aufgabe 7.2[L¨osungsapproximation, Teil 1] (3 Punkte) SeienT >0undu0 ∈R^d. Wir betrachten das Anfangswertproblem

u⁰(t) =f(t, u(t)), t∈(0, T) u(0) =u₀,

wobei es zuf : [0, T]×R^d→R^deinL≥0gebe, so dass f ¨ur alles, t∈[0, T]undv, w∈R^dgilt kf(s, v)−f(t, w)k ≤L(|s−t|+kv−wk).

Das ϑ-Verfahren, ϑ ∈ [0,1], angewendet auf einer ¨aquidistanten Zerlegung des Intervalls [0, T], also tn=nτ, τ =T /N, zur n ¨aherungsweisen Berechnung vonuⁿ≈u(tn), n = 1,2, ..., N, bei gegebenenu⁰ ≈u₀lautet

uⁿ−uⁿ⁻¹

τ = (1−ϑ)f(tn−1, uⁿ⁻¹) +ϑf(t_n, uⁿ), n= 1,2, ..., N.

Zeige unter geeigneten Voraussetzungen a) die Wohldefiniertheit des Verfahrens,

b) die von der Wahl der Schrittweite unabh ¨angige Beschr ¨anktheit der zeitdiskreten L¨osung und ihrer diskreten Ableitung (dem Differenzenquotienten),

c) die stetige Abh ¨angigkeit der zeitdiskreten L¨osung vom Anfangswert, d) eine Fehlerabsch ¨atzung erster Ordnung f ¨urϑ6= ¹₂,

e) eine Fehlerabsch ¨atzung zweiter Ordnung f ¨urϑ6= ¹₂.

Aufgabe 7.3[L¨osungsapproximation, Teil 2] (3 Punkte) Wir modifizieren nun das numerische Verfahren wie folgt:

uⁿ⁺¹−uⁿ

τ =f(t_n+¹

2, uⁿ⁺¹²), n= 0,1, ..., N −1, t_n+¹

2 = t_n+t_n+1

2 , uⁿ⁺¹² = uⁿ+uⁿ⁺¹

2 .

Zeige unter geeigneten Voraussetzungen a) die Wohldefiniertheit des Verfahrens,

b) A-priori-Absch ¨atzungen f ¨ur{u_n}und{^un+u₂ⁿ⁺¹},

c) eine Fehlerabsch ¨atzung zweiter Ordnung, wennu⁰⁰⁰existiert und geeignet integrierbar ist.

Hinweis: F ¨ur die L¨osung ist folgende Beziehung zu zeigen:

eⁿ⁺¹−eⁿ

τ =ρⁿ:= 1 2τ









t_{n+ 1}

Z 2

tn

(t−tn)²u⁰⁰⁰(t)dt+

t_n+1

Z

t_{n+ 1}

2

(tn+1−t)²u⁰⁰⁰(t)dt









+f(t_n+1

2, u(t_n+1

2))−f(t_n+1

2, uⁿ⁺¹²).