Numerische Analysis & Differentialgleichungen

Prof. Dr. Etienne Emmrich Universit ¨at Bielefeld Dipl.-Math. Christopher Hartleb

Numerische Analysis & Differentialgleichungen

Wintersemester 2011/12 Ubungsblatt 10¨

Die L¨osungen sind vor dem Tutorium am09./10.01.2012abzugeben.

Aufgabe 10.1[Normen f ¨ur Gitterfunktionen] (2 Punkte) SeiX_τ der aus der Vorlesung bekannte Raum der Gitterfunktionen. F ¨ur eine Gitterfunktion vτ = (v⁰, ..., v^N)∈Xτ seien

kv_τk_0,∞:= max(kv₀k, ...,kv^Nk), kv_τk_0,1:=kv⁰k+

N

X

j=1

τjkv^jk,

kv_τk_1,1 :=kv_τk_0,1+

N

X

j=1

τj

kv^j−v^j−1k τj

.

Zeige, dass es eine vom Gitter (also vonτ) unabh ¨angige KonstanteC >0gibt, so dass f ¨ur alle vτ ∈Xτ gilt

kv_τk_0,∞≤Ckv_τk_1,1.

Aufgabe 10.2[Stabilit ¨at, Konsistenz und Konvergenz von Einschrittverfahren] (3 Punkte) Zeige - unter geeigneten Voraussetzungen an die Verfahrensfunktion - Stabilit ¨at, Konsistenz und Konvergenz des allgemeinen expliziten Einschrittverfahrens bez ¨uglich(X_τ,k · k_1,1) und (Yτ,k · k_0,1).

Aufgabe 10.3[Spijker-Norm] (3 Punkte)

Zeige - unter geeigneten Voraussetzungen an die Verfahrensfunktion - die Stabilit ¨at des all- gemeinen expliziten Einschrittverfahrens bez ¨uglich(X_τ,k · k_0,∞)und(Y_τ,k · k_−1,∞).

Dabei istk · k_−1,∞die Spijker-Norm. F ¨ur eine Gitterfunktionbτ = (b⁰, .., b^N)∈Yτ ist

kb_τk−1,∞:= max

n=0,1,...,N

b⁰+

n

X

j=1

τ_jb^j .

Dabei ist die leere Summe P⁰

j=1

· · · gleich Null nach Konvention.

Zur Erinnerung:

Aufgabe 9.4[Programmieraufgabe] (3 Punkte)

Programmiere das Verfahren von Heun. F ¨uhre eine Testrechnung f ¨ur ein System linearer Differentialgleichungen durch und vergleiche mit dem exakten Ergebnis. F ¨uhre eine weite- re Testrechnung f ¨ur das System aus Aufgabe 1.3 durch und vergleiche mit den in MATLAB

vordefinierten Routinen.