Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Dr. Birgit Debrabant Dominique K¨upper Stefan L¨obig
SS2009 30.04.2009
3. Tutorium
” Analysis 1 f¨ ur
Mathematik, LAG/Mathematik, Physik“
Aufgabe T10 (Vollst¨andige Induktion) F¨urn∈Nund eine reelle Zahl xist xn
wie folgt definiert
x 0
:= 1,
x n+ 1
:=
x n
·x−n n+ 1.
Beweisen Sie f¨urn≥1 (a) x+1n
= xn
+ nx−1 (b) Pn
k=0(−1)kk+11 n k
= n+11
Aufgabe T11 (Vollst¨andige Induktion) Zeigen Sie, dass f¨ur alle n≥1 gilt
n
Y
k=1
1 + 1 n+k
= 2− 1 n+ 1.
Aufgabe T12 (Induktion und Geometrie)
Es gilt: Eine Gerade zerlegt die Ebene in zwei Gebiete.
Zeigen Sie: nGeraden k¨onnen die Ebene in h¨ochstens n(n2+1)+ 1 Gebiete zerlegen.
Aufgabe T13 (M¨achtigkeit der Potenzmenge)
Beweisen Sie, dass die Potenzmenge P(M) einern-elementigen Menge genau 2nElemente besitzt.
Aufgabe T14 (Mengen)
Es seien L, M, N Teilmengen der Menge X. Skizzieren Sie die folgenden Mengen und zeigen Sie anschließend die folgenden Aussagen:
(a) (M∪N)∩L= (M ∩L)∪(N ∩L), (b) (M∩N)∪L= (M ∪L)∩(N ∪L),
(c) (M ⊆N)⇔X\N ⊆X\M.
