Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm
Mathematik f¨ ur Informatiker Analysis
Ubungsblatt 13 ¨
Abgabetermin Mittwoch, den 06.02.2019 vor der Vorlesung.
1. Sei f :R\{1} →R mit
f(x) = x2 x3−1
(a) Bestimmen Sie alle Nullstellen, lokalen Minima und lokalen Maxima von f. (b) Bestimmen Sie die Grenzwerte
x→∞lim f(x) lim
x→−∞f(x) lim
x→1 x<1
f(x) lim
x→1 x>1
f(x)
(c) Erstellen Sie einen qualitativen Plot des Graphen von f. (d) ¨Uberpr¨ufen Sie Ihre Ergebnisse mit Maple.
2. Sortieren Sie die Funktionen fi :]0,∞[→R
f1(x) =xlnx f4(x) = 2x f2(x) = exp(x·ln (x)) f5(x) = x2
f3(x) =xx f6(x) = exp(x)·lnx nach dem Wachstum f¨ur x→ ∞. Beweisen Sie Ihre Behauptung.
3. Bestimmen die folgenden Grenzwerte
x→1lim ln (x)
1−x lim
x→∞
exp(x)−exp(−x) exp(x) + exp(−x)
x→0lim
x>0
x(lnx)n = 0 lim
x→0 x>0
xx
wobei n∈Z.
4. Die Einschr¨ankung der Sinusfunktion auf [−π2,π2] ist streng monton steigend mit Bild [−1,1]. Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktionarcsin : [−1,1]→Rauf ]−1,1[ differenzier- bar ist mit
arcsin0(x) = 1
√1−x2
–1 1
–2 2
5. (4 Zusatzpunkte)
(a) Zeigen Sie, dass die Tangensfunktion tan :R\{π2 +kπ|k ∈Z} →R tan(x) = sin(x)
cos(x) auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist mit
tan0(x) = 1 + (tan(x))2.
(b) Die Tangensfunktion auf ]−π2,π2[ist streng monton steigend mit Bild R. Zeigen Sie, dass die Umkehrfunktionarctan :R→R differenzierbar ist mit
arctan0(x) = 1 1 +x2.
–2 0 2
–4 –2 2 4
2
