UNI VE R S I TA S
S AR
A V I E NSI S FR 6.1 – Mathematik
Institut f¨ur Angewandte Mathematik Prof. Dr. V. John
Saarbr¨ucken, 29.01.2008
Ubungsaufgaben zur Vorlesung ¨ Mathematik f¨ ur Informatiker I
Serie 13
abzugeben vor der Vorlesung am Mittwoch, dem 06.02.2008
Es werden nur L¨osungen bewertet, deren L¨osungsweg klar erkennbar ist. Alle Aus- sagen sind zu begr¨unden. Aus der Vorlesung bekannte Sachverhalte k¨onnen voraus- gesetzt werden.
Vergessen Sie bitte nicht, dass zur Zulassung zur Pr¨ufung auch das Vor- rechnen von Aufgaben in den ¨Ubungen geh¨ort !!!
1. Man bestimme die Summe der Reihen X∞
k=0
(−1)k 2k ,
X∞ k=1
1 4k2−1.
2. Man pr¨ufe unter Verwendung des Konvergenzkriteriums von Leibniz die Kon- vergenz der Reihen mit folgenden Gliedern:
(−1)n
√n , (−1)n
αn+β,(α, β >0), (−1)n (n(n+ 3))32.
3. Man betrachte die Reihe X∞ n=1
an mit an= 1
n+(−1)n
√n .
(a) Man zeige: Die Reihe ist alternierend und limn→∞an= 0.
(b) Man zeigea2k+a2k+1> 21k+2k1+1 und beweise mit Hilfe dieser Unglei- chung die Divergenz der Reihe.
(c) Warum ist das Leibniz–Kriterium nicht anwendbar ?
4. Man untersuche die folgende Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:
X∞ n=1
(−1)n(√ n+ 1−
√n), X∞ n=1
(−1)n(n+ 1)n nn+1 .
