UNI VE R S I TA S
S AR
A V I E NSI S FR 6.1 – Mathematik
Institut f¨ur Angewandte Mathematik Prof. Dr. V. John
Saarbr¨ucken, 05.02.2008
Ubungsaufgaben zur Vorlesung ¨ Mathematik f¨ ur Informatiker I Serie 14 (letzte ¨ Ubungsserie)
abzugeben vor der Vorlesung am Mittwoch, dem 13.02.2008
Es werden nur L¨osungen bewertet, deren L¨osungsweg klar erkennbar ist. Alle Aus- sagen sind zu begr¨unden. Aus der Vorlesung bekannte Sachverhalte k¨onnen voraus- gesetzt werden.
Vergessen Sie bitte nicht, dass zur Zulassung zur Pr¨ufung auch das Vor- rechnen von Aufgaben in den ¨Ubungen geh¨ort !!!
1. Man bestimme die Konvergenzradienρder Potenzreihen und untersuche die Konvergenz in den Punktenz=ρundz=−ρ.
∞
X
n=1
n n+ 1
z 2
n ,
∞
X
n=1
n!zn nn ,
∞
X
n=1
(−1)n−1zn
n ,
∞
X
n=1
zn!,
∞
X
n=1
5(n2)z(n2).
2. Man beweise limn→∞ √n n= 1.
Hinweis: Man betrachte die Folge (xn)n∈N,xn= √nn−1 und zeige, dass dies eine Nullfolge ist. Dazu betrachte man (1 +xn)n, wende den Binomialsatz an, ¨uberlege warum man nur die ersten drei Summanden braucht und nutze noch eine Idendit¨at f¨ur Binomialkoeffizienten.
3. Man wandle die gegebenen Zahlenxb aus demb–adischen System in Zahlen xc desc–adischen Systems um:
x2 = 101.0101 =⇒ x10, x6 = 12345.54321 =⇒ x10, x16 = ABCDEF9 =⇒ x2, x10
x10 = 425.33 =⇒ x2, x6, x7, x8. Bei der letzten Aufgabe reichen drei Stellen nach dem Komma aus.
Im Hexadezimalsystem besitzen die ZiffernA, . . . , F die Werte 10, . . . ,15.
4. Man beweise die direkte Formel f¨ur Binomialkoeffizienten n
k
= n!
k!(n−k)!.
