UNI VE R S I TA S
S AR
A V I E NSI S FR 6.1 – Mathematik
Institut f¨ur Angewandte Mathematik Prof. Dr. V. John
Saarbr¨ucken, 22.01.2008
Ubungsaufgaben zur Vorlesung ¨ Mathematik f¨ ur Informatiker I
Serie 12
abzugeben vor der Vorlesung am Mittwoch, dem 30.01.2008
Es werden nur L¨osungen bewertet, deren L¨osungsweg klar erkennbar ist. Alle Aus- sagen sind zu begr¨unden. Aus der Vorlesung bekannte Sachverhalte k¨onnen voraus- gesetzt werden.
Vergessen Sie bitte nicht, dass zur Zulassung zur Pr¨ufung auch das Vor- rechnen von Aufgaben in den ¨Ubungen geh¨ort !!!
1. Man beweise die folgenden Aussagen oder man finde ein Gegenbeispiel.
(a) Seien (fk)k∈N und (gk)k∈N zwei konvergente Folgen, dann konvergiert auch die Folge (hk)k∈N, die durch
hk = max(fk, gk) k∈N definiert ist.
(b) Wenn f¨ur die Folge (ak)k∈N die Folge (bk)k∈Nmit bk=ak+1−ak k∈N eine Nullfolge ist, dann konvergiert Folge (ak)k∈N.
(c) Sei (ck)k∈Neine Folge inR. Wenn f¨ur die Folge (dk)k∈Nmit dk=ck+1−ck k∈N
die Beziehung
|dk| ≤ 1 k(k+ 1) gilt, dann konvergiert die Folge (ck)k∈N. 2. Gegeben sei die Folge (ak)k∈N mit ak = 1
k(k+ 1). Weiterhin definieren wir die Folge (sn)n∈N durch
sn=
n
X
k=1
ak.
(a) Man bestimme einen einfachen Ausdruck f¨ursn. (b) Man bestimme den Grenzwerts= lim
n→∞sn.
(c) Man gebe einn0(ε) an, so daß f¨ur allen≥n0(ε) die Beziehung
|s−sn| ≤ε erf¨ullt ist.
3. SeiE ein Vektorraum. Man beweise, dass die AbbildungD : E→R+0 mit D(x) =
0 f¨urx= 0, 1 sonst,
keine Norm auf E definiert. Desweiteren zeige man, dass die durch D indu- zierte Funktiond : E×E→R+0
d(x, y) =
0 f¨urx=y, 1 f¨urx6=y, eine Metrik aufE definiert.
4. Man verwende das Quotientenkriterium zur Bestimmung des Konvergenzver- haltens der folgenden Reihen:
∞
X
j=1
(3j)!
(2j+ 1)!j!6j,
∞
X
j=1
j2 22j−1+ 1,
∞
X
j=1
ajj!
jj , a >0,
∞
X
n=1
(−1)n2nn!
nn ,
∞
X
j=1
(−1)j3jj!
jj ,
∞
X
k=1
(k!)2nk
(2k)! , n∈N.
