UNI VE R S I TA S
S AR
A V I E NSI S FR 6.1 – Mathematik
Institut f¨ur Angewandte Mathematik Prof. Dr. V. John
Saarbr¨ucken, 18.12.2007
Ubungsaufgaben zur Vorlesung ¨ Mathematik f¨ ur Informatiker I
Serie 09
abzugeben vor der Vorlesung am Mittwoch, dem 09.01.2008
Es werden nur L¨osungen bewertet, deren L¨osungsweg klar erkennbar ist. Alle Aus- sagen sind zu begr¨unden. Aus der Vorlesung bekannte Sachverhalte k¨onnen voraus- gesetzt werden.
Vergessen Sie bitte nicht, dass zur Zulassung zur Pr¨ufung auch das Vor- rechnen von Aufgaben in den ¨Ubungen geh¨ort !!!
1. Es seien
an:= 1 n3
n−1
X
ν=1
ν2 bn:= 1 n3
n
X
ν=1
ν2 f¨urn∈N.
Man zeige, daß{[an, bn]}n∈Neine Intervallschachtelung ist. Welche reelle Zahl liegt im Durchschnitt aller Intervalle?
2. Man beweise die Schwarzsche Ungleichung
n
X
ν=1
aνbν
!2
≤
n
X
ν=1
aν2
! n X
ν=1
bν 2
!
f¨ur beliebige reelle Zahlena1, . . . , an, b1, . . . , bn. Hinweis: Man zeige zuerst die Identit¨at
n
X
ν=1
a2ν
! n X
ν=1
b2ν
!
−
n
X
ν=1
aνbν
!2
= X
1≤µ<ν≤n
(aµbν−aνbµ)2.
3. Man beweise f¨ur beliebigesx∈R, x >0 die Ungleichung
x+1 x ≥2.
Unter Nutzung dieser Ungleichung zeige man, dass f¨ur beliebige positive reelle Zahlenx1, x2, ..., xn die Ungleichung
n
X
ν=1
xν
! n X
ν=1
1 xν
!
≥n2 gilt.
4. F¨ur die MengenM ={xn : n∈N}mit (a) xn:= 1+(−1)
nn 1+n
(b) xn:= sin2nπ
bestimme man Infimum und Supremum.
