Mathematik f¨ ur Informatiker Analysis

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Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm

Ubungsblatt 2 ¨

Abgabetermin Mittwoch, den 14.11.2018 vor der Vorlesung.

1. (a) Verwenden Sie den Induktionsbeweis der Formel 2^M

= 2^|M^|

f¨ur endliche Mengen M, um alle Teilmengen vonM ={1,2,3,4} aufzuz¨ahlen.

(b) Bestimmen Sie die Wahrheitswerte folgender Aussagen:

{3}=|{1,2,3}| {1,3} ∈ P({1,2,3}) 0⊂ {1,2,3} {3} ⊂ {1,2,3}

{3} ∈ {1,2,3} |P({1,2,3})|= 8 {∅} ⊂ {1,2,3} ∅ ⊂ P({1,2,3}) 2. Sei n ∈Nund seien n²+ 1 beliebige Punkte in dem Quadrat

{(x, y)|0≤x < n, 0≤y < n}

0 0 1

1 n

n

gegeben. Zeigen Sie, dass es unter diesen zwei Punkte gibt, die Abstand ≤√

2 haben.

3. Seien M, N endliche Mengen mit |M| = |N| und f : M → N eine Abbildung. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:

(a) f ist bijektiv, (b) f ist injektiv, (c) f ist surjektiv.

4. Seien M, N, L6=∅ Mengen und f :M →N und h:N →LAbbildungen. Zeigen Sie:

(a) Sind f und h injektiv, dann ist auch h◦f injektiv.

(b) Sind f und h surjektiv, dann ist auch h◦f surjektiv.

(c) f ist injektiv genau dann, wenn es eine Abbildungg :N →M gibt mitg◦f = id_M.

1

f

g

a

2 b

c d 3

(2)

(d) fist surjektiv genau dann, wenn es eine Abbildungg :N →M gibt mitf◦g = id_N.

1 f

g

a

2 b

3 c 4

5. (4 Zusatzpunkte) Schreiben Sie ein rekursives Programm, das das Spiel ”Die T¨urme von Hanoi” l¨ost.

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