Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm
Mathematik f¨ ur Informatiker Analysis
Ubungsblatt 10 ¨
Abgabetermin Mittwoch, den 23.01.2019 vor der Vorlesung.
0. Schreiben Sie eine Zusammenfassung von Abschnitt 3−4 f¨ur Ihren Klausurmerkzettel (etwa 1/2 DIN A4 Seite, Abgabe als Fotokopie). Notieren Sie sich auch (auf Ihrer Abgabe) Ihre Fragen zur Diskussion in Treffpunkt, ¨Ubungen und Vorlesung.
1. Sei f :R\{−1,1} →R mit
f(x) = x3 x2−1 (a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f.
(b) Zeigen Sie
x→∞lim f(x)
x = 1 lim
x→1 x<1
f(x) =−∞ lim
x→1 x>1
f(x) =∞
(c) Erstellen Sie einen qualitativen Plot des Graphen von f. (d) ¨Uberpr¨ufen Sie Ihre Ergebnisse mit Maple.
2. Bestimmen Sie f¨ur die folgenden Potenzreihen den Konvergenzradius:
P1(x) =
∞
X
n=0
1
n3xn P2(x) =
∞
X
n=0
n3xn
Untersuchen Sie die Konvergenz auch f¨ur |x|=r(P).
3. Zeigen Sie: Die Cosinusreihe
cos(x) =
∞
X
n=0
(−1)n (2n)!x2n hat Konvergenzradius
r(cos) =∞.
4. (a) Zeigen Sie, dass
cos(2)≤ −1 3
(b) Folgern Sie, dass die durch die Cosinusreihe definierte Cosinusfunktion cos :R→R, x7→cos(x)
in dem Intervall [0,2] eine Nullstelle besitzt.
–1 1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6
5. (4 Zusatzpunkte)
(a) Schreiben Sie ein Programm, das durch Intervallschachtelung eine Nullstelle x0 der Cosinusfunktion im Intervall [0,2] approximiert.
(b) Bestimmen Sie x0 bis auf eine Genauigkeit von 2−10, d.h. geben Sie ein Intervall [a, b] mit a, b∈Q und Breite ≤2−10 an, dasx0 enth¨alt.
(c) Berechnen Sie mit Hilfe Ihres Programms eine N¨aherung von x0 durch einen Dezi- malbruch mit einer Genauigkeit von 50 Stellen.
(d) ¨Uberpr¨ufen Sie, dass die berechnete Dezimalbruchentwicklung nicht periodisch ist.
(e) Kennen Sie die Nullstelle x0?
2
