Wintersemester 18/19 Dr. Janko Boehm
Mathematik f¨ ur Informatiker Analysis
Ubungsblatt 6 ¨
Abgabetermin Mittwoch, den 12.12.2018 vor der Vorlesung.
1. Sei (an) eine Folge mit an6= 0 f¨ur alle n.
(a) Zeigen Sie: Ist limn→∞an=∞ oder−∞, dann gilt limn→∞ 1 an = 0.
(b) Finden Sie eine Folge (an), sodass limn→∞an= 0, aber (a1
n) nicht bestimmt divergent gegen∞ ist.
2. In einem abgeschlossenen Gebiet wird ein Kaninchenpaar ausgesetzt. Jedes Kaninchen- paar, das mindestens 2 Monate alt ist, zeugt jeden Monat ein neues Kaninchenpaar. Sei fndie Anzahl der Kaninchenpaare in der Population imn-ten Monat unter der Annahme, dass es keine Todesf¨alle gibt.
n fn Population
0 0 ∅
1 1 2 1 3 2 4 3
(a) Stellen Sie eine Rekursionsgleichung f¨ur fn auf, und berechnen Sie f11. Finden Sie den Namen der Folge (fn) in der OEIS (https://oeis.org) heraus.
(b) Bestimmen Sie die asymptotische Wachstumsrate der Population, d.h. limn→∞ fn+1
fn . 3. Sei K ein angeordneter K¨orper und seien (an) und (bn) konvergente Folgen in K mit
limn→∞an =a und limn→∞bn =b. Zeigen Sie, dass die Folge (an·bn) konvergiert und
n→∞lim(an·bn) =a·b.
4. F¨ur n∈N definieren wir die Folgen an=√
n+ 1000−√
n bn=p
n+ 1000n −√ n (a) Zeigen Sie: F¨ur 1≤n <1 000 000 gilt an > bn, jedoch
limn→∞an= 0 limn→∞bn =∞ Hinweis: x−y= xx+y2−y2.
(b) Visualisieren Sie die beiden Folgen, z.B. in Maple.
5. (4 Zusatzpunkte)
(a) Schreiben Sie ein Programm, das f¨ur eine positive rationale Zahl q ∈ Q mittels Schulbuchdivision eine Fließkommadarstellung mitr+ 1 Stellen bestimmt, d.h. eine Fließkommazahl
f =s0.s1...sr·10k =s0·10k+s1·10k−1+...+sr·10k−r mit si ∈ {0, ...,9}, s0 6= 0, k ∈Z und
q−5·10k−r−1 < f ≤q+ 5·10k−r−1.
(b) Wenden Sie Ihr Programm f¨ur r = 100 an auf q = 37,100103,555555555006173525371,14142135622 9999999999. Mit welcher Periode wiederholen sich die Nachkommastellen?
(c) Berechnen Sie die Fließkommadarstellung von√
2 f¨ur r = 100, und ¨uberpr¨ufen Sie, dass diese Darstellung nicht periodisch ist.
2
