(1)Fachbereich Mathematik und Statistik Jun.-Prof

Fachbereich Mathematik und Statistik Jun.-Prof. Dr. Arno Fehm

Lothar Sebastian Krapp WS 2015 / 2016

Übungen zur Vorlesung Algebra (B3)

Blatt 3

Satz von Gauß und Irreduzibilitätskriterien

Aufgabe 9 (4 Punkte)

Zeigen Sie mit so wenig Rechenaufwand wie möglich, dass folgende Polynome irreduzibel sind:

a) X³+ 39X²−4X+ 8 inQ[X];

b) 2X⁴+ 200X³+ 2000X²+ 20000X+ 20 in Q[X];

c) X⁵−64 inQ[X];

d) X²Y +XY²−X−Y + 1 inQ[X, Y].

Aufgabe 10 (4 Punkte)

Sei f = 29X⁵−13X⁴−44X³+ 18X²+ 35X+ 10∈Z[X].

a) Erstellen Sie eine Liste der irreduziblen Polynome vom Grad ≤2 in F2[X] und F3[X].

b) Zerlegen Sief inF2[X] und F3[X] in seine irreduziblen Faktoren.

c) Folgern Sie, dass f irreduzibel überZund über Qist.

Aufgabe 11 (4 Punkte)

a) Zeigen Sie: Das PolynomX⁴−pmitp∈Nprim ist reduzibel inR[X], aber irreduzibel inQ[X].

b) Finden Sie die Primfaktorzerlegung von X²ⁿ+ 2Xⁿ+ 1 inR[X] für n= 2 und n= 3.

c) Finden Sie die Primfaktorzerlegung von X⁴+ 1 inR[X] und in Q[X].

Hinweis:X⁴+ 1 =X⁴+ 1 + 2X²−2X².

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Aufgabe 12 (4 Punkte)

Sei R ein faktorieller Ring. Zeigen Sie: Ein Polynom f ∈ R[X] mit deg(f) ≥ 1 ist genau dann irreduzibel in R[X], wenn f für jedes Primelement p∈R inR_(p)[X] irreduzibel ist.

Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, dass p /∈R_(p)^×.

Abgabe: Montag, 16. November 2015, 10:00 Uhr, Briefkästen auf F4.

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