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Universit¨at Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Vorkurs Mathematik 2018

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Universit¨ at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Vorkurs Mathematik 2018

Blatt 6

Aufgabe 27. Eine Primzahl ist eine nat¨ urliche Zahl, die genau zwei Teiler hat.

Zwei Primzahlen p und q bilden ein Primzahlzwilling, wenn ihre Differenz genau 2 betr¨ agt. So sind etwa (3, 5) und (11, 13) Beispiele f¨ ur Primzahlzwillinge. Es ist nicht bekannt, wie viele Primzahlzwillinge es gibt. Drei Primzahlen p, q und r bilden ein Primzahldrilling, wenn der Abstand zwischen p und q bzw. der Abstand zwischen q und r genau 2 betr¨ agt. Zeigen Sie, dass nur (3, 5, 7) ein Primzahldrilling bilden (d.h.

es gibt keine weiteren Primzahldrillinge).

Aufgabe 28. Geben Sie eine Beweisschablone f¨ ur folgende Nutzungsregel an: Um nachzuweisen, dass eine Aussage (A ∨ B ) ∨ C eine weitere Aussage D impliziert, zeigen wir (A ⇒ D), (B ⇒ D) und (C ⇒ D).

Aufgabe 29. Geben Sie eine Beweisschablone daf¨ ur an, dass die ∨-Verkn¨ upfung assoziativ ist, d.h. f¨ ur Aussagen A, B und C gilt

((A ∨ B ) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C)).

Aufgabe 30. Geben Sie eine Beweisschablone daf¨ ur an, dass die ∧-Verkn¨ upfung assoziativ ist, d.h. f¨ ur Aussagen A, B und C gilt

((A ∧ B ) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C)).

Aufgabe 31. Zeigen Sie

∀a ∈ Z : ∀b ∈ Z : (a ≤ b) ⇔ (∃n ∈ N

0

: a + n = b).

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