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Universit¨at Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Vorkurs Mathematik 2019

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Universit¨ at Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Vorkurs Mathematik 2019

Blatt 12

Aufgabe 55. Es sei A eine Menge. Zeigen Sie die folgenden Aussagen (i) A ∩ ∅ = ∅

(ii) A\ ∅ = A.

Hinweis: Notieren Sie die Aussagen zun¨ achst in f¨ ur-alle-Form.

Aufgabe 56. Es seien A, B und C Aussagen. Geben Sie eine Beweisschablone f¨ ur folgendes Distributivgesetz

A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C).

Aufgabe 57. Zeigen Sie f¨ ur Mengen A, B und C die folgenden Aussagen (i) A ⊂ (A ∪ B)

(ii) (A ∩ B) ⊂ A

(iii) A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C)

Hinweis: Die Aufgabe 56 ist hilfreich f¨ ur die Aufgabe 57(iii).

Aufgabe 58. Es seien A und B Mengen. Zeigen Sie A ∩ B = A\(A\B).

Aufgabe 59. Es seien A und B Mengen. Die symmetrische Differenz A∆B ist die Menge aller Elemente, die in A ∪ B, aber nicht in A ∩ B liegen, d.h.

A∆B := (A ∪ B)\(A ∩ B).

Zeigen Sie

A∆B = (A\B) ∪ (B\A).

Zusatzaufgabe 12.

Bestimmen Sie die Menge aller positiven ganzen Zahlen n, f¨ ur die n · 2

n−1

+ 1 eine

Quadratzahl ist.

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