1. Aufgabe 7 Punkte

Technische Universit¨ at Berlin

Fakult¨ at II – Institut f¨ ur Mathematik SS 04 B¨ arwolff, Fuhrmann, Mehl, Penn-Karras, Scherfner 21. Juli 2004

Juli – Klausur (Rechenteil) Analysis II f¨ ur Ingenieure

L¨ osungsblatt

1. Aufgabe ^{7 Punkte}

Mit der Parametrisierung x(r, φ) = (r cos φ, r sin φ, r) ^T mit φ ∈ [0, 2π], r ∈ [0, 3].

erh¨alt man

x r × x φ = − r(cos φ, sin φ, − 1) ^t ,

| x r × x φ | = √ 2r

Z Z

∂K

dO = Z ² π

0

Z ³

0

√ 2rdrdφ = 2π √ 2 r ²

2 | ^{3 0} = 9 √ 2π

2. Aufgabe 8 Punkte

Die Jacobi-Matrix von V ~

DV (x, y, z) =





2y − ycosx 2x − sin x 0

− sin x + 2x − z sin y cos y

0 cos y 6z





ist symmetrisch (alternativ kann man auch durch Nachrechnen verifizieren, dass rot V ~ = 0).

Da R ⁿ konvex ist hat V ~ also ein Potential.

Als Stammfunktion berechnet man

f x = − y sin x + 2xy ⇒ f(x, y, z) = y cos x + x ² y + C(y, z)

⇒ f y = cos x + x ² + C y (y, z) = cos x + x ² + z cos y

⇒ C y (y, z) = z cos y ⇒ C(y, z) = z sin y + D(z)

⇒ f z = sin y + D z (z) = sin y + 3z ² ⇒ D z (z) = 3z ² ⇒ D(z) = z ³ + c

⇒ f (x, y, z) = y cos x + x ² y + z sin y + z ³ + c 5

3. Aufgabe 5 Punkte Mit Zylinderkoordinaten berechnet man

Z Z Z

M

√ z p 1

x ² + y ² dxdydz = Z ² π

0

Z ¹

0

Z ¹

0

√ 1

zr rdrdzdφ = 4π

4. Aufgabe 12 Punkte

a) Das Gradientenkriterium ∇ f = λ ∇ g liefert y = λ2x x + 1 = − λ2y

3z ² = 0 y ² = x ² (N B),

Aus der 1. Bedingung und der NB erhh¨alt man λ = ± ^{1 2} Aus der 2. und der 3. Bedingung folgt dann

y = ∓ (x + 1) und x = − 1 2 Hieraus erh¨alt man die kritischen Punkte

( − 1 2 , − 1

2 , 0), ( − 1 2 , 1

2 , 0), sowie (0,0,z) f¨ ur grad g = ~ 0

b) Die Nebenbedingung schr¨ankt die Wahl von z nicht ein. Man kann in z also frei variieren und bei festem (x, y) ∈ { g (x, y ) = 0 } jeden beliebigen Funktionswert f(x, y, z) durch entsprechende Wahl von z erreichen, ohne die Nebenbedingung zu verletzen.

5. Aufgabe ^{8 Punkte}

Das Dreieck ist B := { (x, y) ∈ R ² | 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2 − x } Entweder rechnet man mit dem Satz von Green

R

∂B V ~ · ds ~ = RR

B (∂ x v y − ∂ y v x )dxdy = R ¹

0

R ² −x

x (2x + y + 3)dydx

= R ¹

0 [2xy + ^y ₂

+ 3y] ² _y ^−x = x dx = R ¹

0 ( − 4x ² − 4x + 8)dx = − ⁴ 3 − 2 + 8 = ¹⁴ ₃ . Oder man rechnet das Randintegral auf direktem Wege aus

Die Dreiecksseiten sind:

γ ¹ (t) = (t, t) ^T , t ∈ [0, 1] γ ² (t) = (1 − t, 1 + t) ^T , t ∈ [0, 1]

γ ³ (t) = (0, 2 − t) ^T , t ∈ [0, 2].

Und damit R

∂B V ~ · ds ~ = R ¹

0 (4t ² − 3t)dt + R ¹

0 ( − 2t ² + 5t + 3)dt + R ²

0 0dt = [ ² ₃ t ³ + t ² + 3t] ¹ 0 = ¹⁴ ₃ .