Wesentliche Änderungen in den Versionen
27. Februar 2010
Diese Übersicht soll dazu dienen, wesentliche Änderungen in den Versionen nachzuvoll- ziehen. Kleine Tipp, Zeichensetzungs sowie Rechtschreibfehler werden hier nicht auf- gelistet; insbesondere erhebt diese Übersicht keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
Dennoch freuen wir uns über die Meldung von groÿen und kleinen Fehlern auch in Zukunft gleichermaÿen.
Version 2.1
Q
Korollar 2.35 auf Seite 44 lautet nun: Seien (Ω1,A1, µ1),(Ω2,A2, µ2) σ-endliche Maÿräume. Sei f: Ω1×Ω2 → R¯ A1⊗ A2 -messbar. Es sei mindestens einer der drei folgenden Ausdrücke endlich:Z
Ω1×Ω2
|f|d(µ1⊗µ2),
Z
Ω1
Z
Ω2
|f(x, y)|dµ2(y)
dµ1(x), Z
Ω2
Z
Ω1
|f(x, y)|dµ1(x)
dµ2(y).
Dann gilt:
(i) [x7→f(x, y)]∈L1(Ω1) fürµ2-fast alle y. (ii) [y 7→f(x, y)]∈L1(Ω2) fürµ1-fast alle x.
(iii)
x7→
Z
Ω2
f(x, y)dµ2(y)
∈L1(Ω1).
(iv)
y 7→
Z
Ω1
f(x, y)dµ1(x)
∈L1(Ω2).
Auÿerdem gilt die Aussage von Satz 2.34, Teil (iii), wobei alle auftretenden Aus- drücke endlich sind.
1
Version 2.0
Q
Die letzte abgesetzte Formel auf Seite 11 wurde geändert zu∀a∈[0,∞) : a <∞, ∀a∈(0,∞] : a· ∞=∞.
Q
Satz 1.18(iii) lautet nun: Falls A1, A2, . . . ∈ R und S∞j=1Aj ∈ R, so folgt, falls µ σ-additiv,
µ
∞
[
j=1
Aj
≤
∞
X
j=1
µ(Aj).
Q
Das Schema der Implikationen in der Aussage von Satz 1.19. wurde veranschaulicht:(i)ks +3(ii)
&
EE EE EE EE
EE EE EE
EksE (iii)ks +3
(iv)
(iii∗)
Q
Die abgesetzte Formel in der Setzung in Satz 1.19. lautet nunµ∗(A) = inf ( ∞
X
i=1
µ(Ei) : (En)∈ RN, A⊂
∞
[
i=1
Ei
) .
Im Beweis dieses Satzes lautet die Formel nun
µ∗
∞
[
j=1
Aj
≤
∞
X
i,j=1
µ Eji
≤
∞
X
j=1
µ∗(Aj) + 2−jε .
Q
Das erste Beispiel für Nicht-Eindeutigkeit auf Seite 20 lautet nun:Sei R ⊂ P(R) der Ring aller Teilmengen von R mit endlichen vielen Elemen- ten (Punkten). σ(R) ist die σ-Algebra derjenigen Mengen, welche höchstens ab- zählbar sind oder deren Komplemente höchstens abzählbar sind. Seien µ: R → [0,∞], µ(A) = 0 ∀A∈ R und für r∈[0,∞]beliebig setze
µr:σ(R)→[0,∞], µr(A) =
(0 , fallsA höchstens abzählbar, r , fallsA überabzählbar.
Dann ist jedes µr ein Maÿ und eine Fortsetzung von µ auf σ(R). µr ist nicht σ- endlich aufR,dennRkann nicht als Vereinigung von Mengen mit endlichen vielen Elementen dargestellt werden.
Q
Der Beweis von Lemma 1.33. lautet nun:σ(E) ⊃ D(E) gilt nach Denition von D(E) (es gibt mehr Dynkin-Systeme). Die Inklusionσ(E)⊂ D(E) folgt aus (i) und 1.32.(ii) und σ(E) kleinsteσ-Algebra.
2
Wir haben noch (i) zu zeigen. Wir zeigen
D(E)⊂ DD ={Q∈ D(E) |Q∩D∈ D(E)} für jedes D∈ D(E).
Die umgekehrte Inklusion ⊃ gilt bereits nach Denition.
Sei nunD∈ D(E)beliebig.DD ist ein Dynkin-System (kein Problem). UmD(E)⊂ DD zu zeigen, ist es also ausreichend,E ⊂ DD zu zeigen. Deniere
D={D∈ D(E) | E ⊂ DD}.
Es genügt nun zu zeigenD(E)⊂ D.Dselbst ist ein Dynkin-System und D ⊃ E,da E durchschnittsstabil. Es gilt also D(E)⊂ D und damit ist (i) bewiesen.
Q
Beweis von Korollar 1.34. lautet nun SetzeD={A∈ A |µ(A) =ν(A)}.
Wir wissenE ⊂ D. Dist Dynkin-System (beachte die Endlichkeit von µund ν); es gilt also D(E)⊂ D. Mit Hilfe von Lemma 1.33.(ii) erhalten wir
A=σ(E) =D(E)⊂ D ⊂ A, also D=A, woraus sich nun die Behauptung ergibt.
Q
Im Beweis von Satz 2.13. auf Seite 30 heiÿt es nun ZA
f dµ= Z
A
(f +g) dµ+ Z
A
(−g) dµ
Z
B
(−g) dµ= Z
B
−(f +g) dµ+ Z
B
f dµ
⇒ Z
A
f dµ+ Z
B
f dµ= Z
A
(f +g) dµ+ Z
B
(f +g) dµ− Z
A
g dµ− Z
B
g dµ
Z
Ω
f dµ= Z
Ω
(f+g) dµ− Z
Ω
g dµ
Q
Satz 2.15. lautet nunSeien(Ω,A, µ)ein Maÿraum,(fn)eine Folge messbarer Funktionen mit|fn| ≤g µ- fast überall für eine Funktiong∈L1(Ω). Weiterhin existiere eine messbare Funktion f mit f(x) = lim
n→∞fn(x) fürµ-fast alle x∈Ω. Dann gilt Z
Ω
fn dµ→ Z
Ω
f dµ fürn→ ∞
und
Z
Ω
|fn−f|dµ→0 fürn→ ∞.
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Q
Satz 2.23. wurde analog verändert:Seien (Ω,A, µ) ein Maÿraum, p ∈ [1,∞) und (fn) eine Folge messbarer Funktio- nen mit |fn| ≤ g für eine Funktion g ∈ Lp(Ω). Weiterhin existiere eine messbare Funktion f mitf(x) = lim
n→∞fn(x) fürµ-fast alle x∈Ω. Dann gilt Z
Ω
|fn−f|pdµ→0 (kfn−fkp →0).
Q
Im Beweis von Satz 2.21. heiÿt es nun Die punktweise Konvergenz folgt aus der Dierenzierbarkeit und die Majorante erhält man aus der Voraussetzung (ii) und der Identität
f(tn, x)−f(t0, x) tn−t0
=
∂f
∂t(τ, x)
für einτ ∈U.
Q
Auf Seite 37 oben heiÿt es nun Setze nun Lp(Ω) =Lp(Ω)/Np, also [f] = [g] ⇐⇒ f −g∈ Np.Q
Der Beweis von Satz 2.27 endet nun so: Seien nun f, g die punktweise denierten Grenzwerte der Folgen (fn) bzw.(gn). Für m→ ∞ mitn fest folgt|f(x)−fn(x)| ≤g(x)∈Lp(Ω).
Mit dem Satz von Lebesgue erhalten wir nun kfn−fkp →0 und insbesondere f ∈Lp(Ω).
Q
Im Beispiel von Seite 66f. muss es heiÿendx3∧dx1 = t2
p1−t21−t22 dt1∧dt2.
4
