Injektiv: jeder Wert hat höchstens ein Urbild

° 0° 15° 30° 36° 45° 54°

0 12 6 5 4

3 10

sin 0 √3 1

2√2

½ 1

4 10 2√5 √2 2

14 1 √5

cos 1 √3 1

2√2

√3 2

14 1 √5 √2 2

14 10 2 tan 0 2 √3 √3

2 5 2√5 1 1

5 25 10

cot ±∞ 2 √3 √3 1

5 25 10√5 1 5 2√

Primzahlen

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,

101, 103, 107,109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293,

307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599,

601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797,

809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Injektivität, Surjektivität und Bijektivität

Injektiv: jeder Wert hat höchstens ein Urbild

Surjektiv: jeder Wert wird mindestens 1x erreicht

Bijektiv: Injektiv + Surjektiv

60° 72° 75° 90° 105° 120° 135

3

2 5

512 2

512 3 2

3 4

5 √3 2

14 10 2√5 √3 1 2√2

1 √3 1

2√2

√3

2 √

2√5 ½ 1

4 √5 1 √3 1 2√2

0 1 √3

2√2

½

10√5 √3 5 2√5 2 √3 --- 2 √3 √3 -

√5 √3 2

1

5 25 10√5 2 √3 0

√ 3 2

1

√3 -

13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,

101, 103, 107,109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 3, 293,

307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499,

, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691,

135° 150° 165° 180° 270°

3

4 6 12

3 2 1

√2

½ √3 1 2√2

0 -1

1

√2

√3 2

√3 1 2√2

-1 0

-1 1

√3

√ 3 2

0 ±∞

-1 √3 2 √3 ±∞ 0

√ 2 1,41 ln 1 0

√ 3 1,73 ln 2 0,69

√ 5 2,23 ln 3 1,1

√ 7 2,64 ln 5 1,60

√ 11 3,31 ln 7 1,94

√ 13 3,60 ln 11 2,39

√ 17 4,12 ln 13 2,56

√ 19 4,35 ln 17 2,83

√ 23 4,79 ln 19 2,94

√ 29 5,38 ln 23 3,14

√ 31 5,56 ln 29 3,37

√ 37 6,08

2 1000 e 2,718

1 0,367

π 3,141

Komplexe Zahlen

z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = x + iy

̅

=(x; -y) = x - iy

• | z |

²

z ∗ z ! = x

²

+ y

²

•

^z_z¹

2

=

^z_z^1z!2

2z!2

• -z

1

Re{-z

1

} = -1 ; Im{-z

1

} = 1

Polardarstellung r = |z| = "#

²

+ $

²

x = r cos ; y = r sin

= % arcos

^&

'

; falls y ≥ 0

− arcos

^&

'

; falls y < 0 + Polardarstellung: z = r(cos + i sin )

z × w = |z| * |w| * (cos( + -) + i sin(( + -) ) z

ⁿ

= [r(cos + i sin )]

ⁿ

= r

ⁿ

(cos(n ) + i sin(n ))

Im Komplexen (Kartesische Koordinaten)

Eine komplexe zahl 90° nach links drehen -> *i

Eine komplexe zahl 90° nach rechts drehen -> *-i

Mitte Zwischen 2 komplexen zahlen =

^/01₂

Winkel Halbieren -> Wurzel Ziehen

Matrizen

Inverse

( A | I

n

) 2. ) 444445 ( M | N ) 3. ) 444445 ( I

n

| A

^-1

) Determinante

6 = 78 9 : ;< det A = ad – bc 6 = 8 8

₂

8

₌

8

2

8

22

8

2=

8

=

8

=2

8

==

det A (1.Spalte (-1)

^i+j

) = 8 ; > 7 8

22

8

2=

8

=2

8

==

< − 8

₂

; > 7 8

2

8

=

8

=2

8

==

< + 8

₌

; > 7 8

2

8

=

8

22

8

2=

<

Regel von Sarrus (A

^3x3

)

• det 6? = - det A zwei Zeilen vertauscht

• det 6? = a det A Multiplikation einer Zeile mit a

• det 6? = det A Addition eines vielfachen einer Zeile zu einer anderen

• det A = 0 falls 2 Zeilen gleich

• det (AB) = det A * det B

• det (A

^T

) = det A

• det (A

^-1

) = (det A)

^-1

Liner unabhängig (LU) v

1

, v

2

, …, v

n

• wenn kein Vektor zur Erzeugung von Lin(v

1

, v

2

, …, v

n

) weggelassen werden kann

• wenn keiner durch Linearkombination der anderen Darstellbar ist

• wenn man den Nullvektor nur mit einer trivialen Linearkombination erzeugen kann Äquivalente Aussagen

• A ist invertierbar

• Rang A = n

• det A ≠ 0

• Kern A = {0}

• Die Spalten von A sind linear unabhängig

• Die Zeilen von A sind linear unabhängig

• dim SA = dim ZA = n

Basiswechsel

8 ≔ 7

^/_/^B_C

< bezüglich der Basis D = 9

&

, 9

F

≔ G 9

&

9

F

9

&2

9

F2

H → 7

^/_/^B_C

< = 7

^I_I^B_C

< ∗ G 9

&

9

F

9

&2

9

F2

H = : ∗∗ 7

¹₁^JB_JC

< + :

2

7

¹₁^KB_KC

<

Drehungen

• 2x2: L

M ↺

= Ocos − sin

sin cos U ; L

V

∗ L

W

= L

/0M

; L

M ↻

= O cos sin

− sin cos U 6

&YZ[\]^]_`a^

= 71 0 0 −1< ; 6

FYZ[\]^]_`a^

= 7−1 0 0 1< ; 6

b`acde[\]^]_`a^

= 7−1 0 0 −1<

• 3x3: Um X-/Y-/Z-Achse:

6

&

= f 1 0 0

0 cos − sin

0 sin cos g ; 6

F

= f cos 0 sin

0 1 0

− sin 0 cos g ; 6

h

= f cos − sin 0

sin cos 0

0 0 1 g ;

• Drehung mit beliebigem Einheitsvektor i = (i , i

2

, i

=

)

^k

als Drehachse:

l cos + i

²

(1 − cos ) i i

2

(1 − cos ) − i

=

sin i i

=

(1 − cos ) + i

2

sin

i

₂

i (1 − cos ) + i

₌

sin cos + i

₂²

(1 − cos ) i

₂

i

₌

(1 − cos ) − i sin

i

=

i (1 − cos ) − i

2

sin i

=

i

2

(1 − cos ) + i sin cos + i

₌²

(1 − cos ) m

Mathe Wissenswertes

Ein Polynom hat höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Ein komplexes Polynom vom Grad n größer oder gleich 1 hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Polynome ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten haben immer mindestens eine reelle Nullstelle.

Nützliches

"# cosh

²

( $) "# cosh

²

($) → cosh

²

( $) cosh

²

($)

→ sinh

²

( $) sinh

²

($) o

_{( 0&)}p

o

_{2( 0&)}C

q

r′ -Regeln

t

^`_u

→ t

^w

=

^`wuY`uw_uC

t = xi → t

^w

= xi

^w

+ x′i

t = xiy → t

^w

= xiy

^w

+ xi

^w

y + x′iy

o r -Regeln

o xi′ ;# = xi − o x′i ;#