P9. Eigenzust¨ ande von σ x und σ y

Theoretische Physik III: Quantenmechanik

Prof. F.Wegner, Universit¨ at Heidelberg, SS04

8. L¨ osungsblatt, Pr¨ asenz¨ ubung 25.06.04, Hausaufgaben Abgabetermin: 21.06.04

P9. Eigenzust¨ ande von σ x und σ y

Es ist sinnvoll Auf und Absteiger

P9. Eigenstates of σ x and σ y

It makes sense to use σ _x,y = i ^±1/2−1/2

2 (σ ₊ ± σ − ) . Wir lassen σ x,y auf einen zun¨ achst beliebi-

gen Zustand

First we act with σ x,y on a yet arbitrary state

ψ = a ₊ |+i + a − |−i in z–Basis wirken. in z basis.

σ _x,y ψ = i ^±1/2−1/2

2 (σ ₊ ± σ − ) (a ₊ |+i + a − |−i)

= i ^±1/2−1/2 (a − |+i ± a ₊ |−i) . Dies setzen wir ein in die Eigenwertgle-

ichung

This we plug in into the eigenvalue equa- tion

σ _x,y ψ _x,y = λψ _x,y

i ^±1/2−1/2 (a − |+i ± a + |−i) = λ (a + |+i + a − |−i)

⇓

i ^±1/2−1/2 a ₊ = ±λa −

±i ^±1/2−1/2 a − = λa ₊

⇓

λ ² = 1 , λ = ±1 in both cases . Einsetzen von λ ergibt f¨ ur die normierten

Eigenfunktionen

Plugging in yields for the normalized eigenfunctions

ψ _x = 1

√ 2 (|+i ± |−i) ψ y = 1

√ 2 (|+i ± i|−i) .

H19. Geladenes Teilchen im E und B–Feld

Nach Vorlesung l¨ asst sich eine Eigenfunk- tion schreiben als

H19. Charged particle in E and B field

Following the lecture notes we can write the eigenfunctions as

ψ _k

_k

_n (x, y, z) ∝ e ^ik

^y+ik

^z φ _n (x − x _k

) mit x _k

= hc ¯

eB

k _y + eE

¯ hω

und ω = eB mc , wobei φ _n eine Oszillatorwellenfunktion ist.

F¨ ur die Erwartungswerte findet man

where φ _n is an oszillator wave function.

We find for the expectation values hv _z i =

*

− i¯ h m ∂ _z

+

= ¯ hk _z m hv _x i =

*

− i¯ h m ∂ _x

+

=

*

− i¯ h m ∂ x−x

+

= 0 hv _y i =

* −i¯ h

m ∂ _y − ωx

+

= k _y ¯ h

m − ωx _k

= eE ωm . H20. Freies Teilchen in konstantem Magnetfeld

i) F¨ ur den Kommutator von

H20. Free particle in constant mag- netic field

i) For the commutator of v _x = 1

m

−i¯ h∂ _x − e c A _x

v _y = 1 m

−i¯ h∂ _y − e c A _y

ergibt sich we find

[v _x , v _y ] = i¯ he

m ² c (∂ _x A _y − ∂ _y A _x )

= i¯ he

m ² c B _z .

Wir definieren We define a =

r m

2¯ hω (v x + iv y ) a ^† =

r m

2¯ hω (v _x − iv _y ) , mit [a, a ^† ] = 1. ω ist die Zyklotronfre-

quenz wie in H19.

ii) Die Eichung liefert f¨ ur A

with [a, a ^† ] = 1. ω is the zyklotron fre- quency as in H19.

ii) The gauge yields A(x) = 1

2

−By Bx

F¨ ur Zust¨ ande ψ des untersten Landau–

Niveaus gilt:

For states in the lowest Landau levels must hold

aψ = 0

−i¯ h∂ x + ¯ h∂ y + eB

2c y − ieB 2c x

ψ(x, y) = 0

−i∂ _x + ∂ _y + eB

2¯ hc y − ieB 2¯ hc x

ψ(x, y) = 0 .

Wir machen den Ansatz We use the Ansatz ψ(x, y) = e ⁻

x2+y2 2x2

0

χ(x, y) , x ₀ = 2¯ hc Be .

F¨ ur χ finden wir die Differentialgleichung For χ we find the differential equation (i∂ _x + ∂ _y ) χ = 0

∂ _z

χ = 0 . Dies wird von jeder analytischen Funktion

χ(z) gel¨ ost. Eine Basis f¨ ur solche Funktio- nen sind die Polynome z ⁿ , n = 0, 1 . . ..

Obige Differentialgleichung ist identisch mit den Cachy–Riemannschen Differen- tialgleichungen in der Funktionentheorie.

This is solved by any function χ(z) an- alytic in z. A basis for these functions are the polynomials z ⁿ , n = 0, 1 . . ..

The above differential equation is identical

with the differential equations of Cauchy

Riemann in the theory of functions of

complex variable.