Numerische Analysis & Differentialgleichungen

Prof. Dr. Etienne Emmrich Universit ¨at Bielefeld Dipl.-Math. Christopher Hartleb

Numerische Analysis & Differentialgleichungen

Wintersemester 2011/12 Ubungsblatt 8¨

Die L¨osungen sind vor dem Tutorium am12./13.12.2011abzugeben.

Aufgabe 8.1[Programmieraufgabe] (3 Punkte)

Programmiere die Mittelpunktregel (One-leg-Variante des Crank-Nicolson-Verfahrens) zur numerischen L¨osung eines skalaren Anfangswertproblems. Verwende dabei eine Newton- Iteration zur L¨osung der in jedem Zeitschritt auftretenden nichtlinearen Gleichungen. W ¨ahle als Startwert den Wert der N ¨aherungsl¨osung aus dem vorhergehenden Zeitschritt. Teste das Programm f ¨ur das Anfangswertproblem

u⁰(t) =−u(t)³, t∈(0,10) u(0) = 2

und vergleiche die exakte L¨osung mit den zu verschiedenen ¨aquidistanten Zeitgittern berech- neten numerischen L¨osungen. Ist quadratische Konvergenz zu beobachten?

Aufgabe 8.2[Approximationsschema mit Restriktion und Prolongation] (3 Punkte) Das Intervall[a, b]sei ¨aquidistant inN ∈NTeilintervalle der L ¨angehzerlegt.

Es seienX=C([a, b])undXh=R^N+1, jeweils versehen mit der Maximumnorm.

Ferner seienr_h :X →X_h die punktweise Restriktion undp_h :X_h→Xdie st ¨uckweise lineare Interpolation wie in der Vorlesung beschrieben.

Zeige Stabilit ¨at und Kompatibilit ¨at des Approximationsschemas(X_h, p_h, r_h)h∈H, wobei die IndexmengeHzu einer Folge von feiner werdenden Zerlegungen geh¨ore.

Aufgabe 8.3[L¨osungsapproximation, Teil 3] (6 Punkte) Diese Aufgabe ist eine Zusatzaufgabe.

SeienT >0undu0 ∈R^d. Wir betrachten das Anfangswertproblem u⁰(t) =f(t, u(t)), t∈(0, T)

u(0) =u₀,

wobeif : [0, T]×R^d→R^dstark dissipativ sei.

Wir betrachten die One-leg-Variante desϑ-Verfahrens,ϑ∈[0,1], auf einer ¨aquidistanten Zer- legung von[0, T]mitt_n=nτ, τ =T /N, zur n ¨aherungsweisen Berechnung vonu_n≈u(t_n), n= 1,2, ..., N,bei gegebenemu⁰ ≈u0.

Zeige unter geeigneten Voraussetzungen a) die Wohldefiniertheit des Verfahrens,

b) die von der Wahl der Schrittweite unabh ¨angige Beschr ¨anktheit der zeitdiskreten L¨osung und gegebenenfalls ihrer diskreten Ableitung (dem Differenzenquotienten),

c) die stetige Abh ¨angigkeit der zeitdiskreten L¨osung vom Anfangswert, d) eine Fehlerabsch ¨atzung erster Ordnung f ¨urϑ6= ¹₂,

e) eine Fehlerabsch ¨atzung zweiter Ordnung f ¨urϑ= ¹₂.