1. Aufgabe 7 Punkte

Analysis I f¨ ur Ingenieure - Juli-Klausur - L¨ osungen - Rechenteil - SS09

1. Aufgabe 7 Punkte

Ermitteln Sie s¨ amtliche reelle L¨ osungen x der Ungleichung: |x

²

− 2| ≥ x. Geben Sie die L¨ osungsmenge in Intervall-Notation an.

1. Fall: (x

²

≥ 2; d.h. x ≤ − √

2 oder x ≥ √ 2)

x

²

− 2 ≥ x | | | |

x

²

− x − 2 ≥ 0 − √

2 −1 √

2 2

(x + 1)(x − 2) ≥ 0 X X X X X

] − ∞, − √

2] ∪ [2, ∞[

2. Fall: (x

²

≤ 2; d.h. − √

2 < x < √ 2)

−x

²

+ 2 ≥ x | | | |

−x

²

− x + 2 ≥ 0 −2 − √

2 1 √

2

−(x − 1)(x + 2) ≥ 0 X X X X X

[− √ 2, 1]

L = ] − ∞, 1] ∪ [2, ∞[ = R \ ]1, 2[

2. Aufgabe 8 Punkte

a) Bestimmen Sie alle L¨ osungen z ∈ C der Gleichung z

³

= 2 √ 3 + 2i.

b) Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi dar:

z

₁

:= 2e

^−iπ4

z

₂

:=

µ 1 + 3i 3 − i

¶

163

a) r = √

12 + 4 = 4, arctan µ 2

2 √ 3

¶

= arctan µ 1

√ 3

¶

=

^π₆

⇒ z

0

= √

³

4e

^i18π

, z

1

= √

³

4e

ⁱ

(

^13π₁₈^+2π₃

) = √

³

4e

^i13π18

, z

2

= √

³

4e

ⁱ

(

^13π₁₈^+4π₃

) = √

³

4e

^i25π18

b) z

₁

= 2e

^−iπ4

= re

^iφ

mit r = 2, φ = −

^π₄

⇒ z

₁

= 2 ³

^√

2

2

−

√2 2

i ´

= √ 2 − √

2i

z

₂

=

µ 1 + 3i 3 − i

¶

163

=

µ 1 + 3i

3 − i · 3 + i 3 + i

¶

163

=

µ 3 + 9i + i + 3i

²

10

¶

163

= µ 10i

10

¶

163

= i

¹⁶³

= i

^4(40)+3

= i

³

= −i

3. Aufgabe 7 Punkte

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte f¨ ur n ∈ N , x ∈ R : a) lim

n→∞

6n

⁴

− 7n + 1

5 − 2n

⁴

b) lim

n→∞

ln(2n)

ln(3n) c) lim

x→0

(1 − x)

^1x

a) lim

n→∞

6n

⁴

− 7n + 1

5 − 2n

⁴

= lim

n→∞

µ n

⁴

n

⁴

· 6 −

_n⁷3

+

_n¹4

5 n⁴

− 2

¶

= lim

n→∞

6

−2 = −3 b) lim

n→∞

ln(2n)

ln(3n) = lim

n→∞

ln(2) + ln(n)

ln(3) + ln(n) = lim

n→∞

ln(n)

ln(n) = 1

c) lim

x→0

(1 − x)

^1x

= lim

x→0

e

^ln

“

(1−x)^1x”

= lim

x→0

e

^1xln(1−x) Stetigkeit vone^x

= e (

^limx→0x¹ln(1−x)

)

L’Hospital

= e

limx→0 −1 1−x limx→0 1

!

= e

⁻¹

4. Aufgabe 8 Punkte

Sei f : ] − 1, ∞[ → R ; x 7→ ln µ x

2 + 1 2

¶ .

a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T

₃

(x) dritten Grades von f mit Entwicklungspunkt x

₀

= 1.

b) Berechnen Sie mit Hilfe von T

₃

(x) n¨ aherungsweise den Wert ln µ 3

2

¶

und sch¨ atzen Sie den Fehler ab.

a)

k f^(k)(x) f^(k)(1) ^f(k)_k!⁽¹⁾ 0 ln¡_x

2 +¹₂¢

0 0

1 (x+ 1)⁻1 ¹₂ ¹₂ 2 −(x+ 1)⁻² −¹₄ −¹₈ 3 2(x+ 1)^{−3 1}_{4 24}¹

= ⇒ T

₃

(x) =

¹₂

(x − 1) −

¹₈

(x − 1)

²

+

₂₄¹

(x − 1)

³

b) Weil f(x) = ln µ 3

2

¶

f¨ ur x = 2 gilt, setzen wir x = 2 in T

₃

ein:

T

₃

(2) = 1 2 − 1

8 + 1

24 = 12 − 3 + 1

24 = 5

12

Das Restglied R

₃

(2) =

_4!(ξ+1)⁻⁶ 4

(2 − 1)

⁴

wird (f¨ ur x = 2 und) ξ ∈ [1, 2] abgesch¨ atzt:

|R

3

(2)| ist maximal f¨ ur ξ = 1: |R

3

(2)| <

₂₄₍₂₎⁶ 4

1

⁴

=

₆₄¹

5. Aufgabe 10 Punkte

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

a)

Z 4

x

²

− 9 dx b) Z

x √

x + 3 dx c) Z

√

_π

3

0

7x sin(x

²

)e

^cos(x2)

dx d) Z

8

1

dx x + √

³

x a)

Z 4

x

²

− 9 dx = Z µ

A

x + 3 + B x − 3

¶ dx =

Z µ −2/3

x + 3 + 2/3 x − 3

¶ dx

= −

²₃

ln |x + 3| +

²₃

ln |x − 3| + C

b) Partielle Integration mit v = x, u

⁰

= (x + 3)

¹²

anwenden:

Z x √

x + 3 dx = 2

3 x(x + 3)

³²

− 2 3

Z

(x + 3)

³²

dx =

²₃

x(x + 3)

³²

−

₁₅⁴

(x + 3)

⁵²

+ C c) Substitution mit u = cos(x

²

), du = −2x sin(x

²

)dx anwenden:

Z

√

_π

3

0

7x sin(x

²

)e

^cos(x2)

dx = Z

¹₂

0

7

2 e

^u

du =

⁷₂

e

^u

|

1 2

0

=

⁷₂

³ e

¹²

− 1

´

d) Substitution mit u = √

³

x (⇒ u

³

= x ⇒ 3u

²

du = dx) Z

8

1

dx x + √

³

x = Z

2

1

3u

²

u

³

+ u du = Z

2

1

3u

u

²

+ 1 du = 3

2 ln |u

²

+ 1||

²₁

= 3

2 (ln(5) − ln(2))