Systemanalyse Musterlösung Prüfung, Frühling 1999
Aufgabe 1 7 Punkte
a)
dx
dt
= rx; rx
2
k
=x
r; rx
k
dx
dt _
= 0
=) x 1
1
: x
1
1
=0
x 1
2
: r;
rx 1
2
k
=0
x 1
2
= rk
r
=k
x 1
2
=100
gm
;3v =rx; rx
2
k
) dv
dx
=r; 2rx
k
dv
dx
x 1
1
=0
= r>0 =)
instabil (labil)
dv
dx
x 1
2
=k
= r;2r k
k
= ;r <0 =)
stabil b)
dx
dt
=rx; rx
2
k
;u
c)
rx
?
; rx
?
k
;u=0 x
?
=80
gm
;3=)u = rx
?
; rx
2
?
k
= 2
a
;180gm
;3; 2a
;1(80gm
;3)2100
gm
;3= 32
gm
;3a
;11
d) Die stationären Lösungen für den neuen Fall lauten:
x 1
1;2
=
;r p
D
;2 r
k
mit
D=r2;4rk u
Damit ein Gleichgewicht möglich ist, muss gelten
D0:
=) r
2
;4 r
k u0
=) ur 2
k
4r
= rk
4
=
2
a
;1100gm
;34
u50
gm
;3a
;12
Aufgabe 2 7 Punkte
a)
A
B
oder A B
M
in
M
in
Ak
1
Ak
1
Bk
2 Bk
2
Bk
3 Bk
3
Ak
3 Ak
3
b)
dA
dt
= M
in
;Ak
1
;A
k
3+Bk
2
dB
dt
= Ak
1
;Bk
2
;Bk
3
c)
dA
dt _
=0
dB
dt _
=0
M
in
;A(k
1 +k
3
) +Bk
2
=0
+Ak
1
;B(k
2 +k
3
) =0
(?)
(??)
aus
(??)folgt:
A= B(k
2 +k
3 )
k
1
=B
14
h
;14
h
;1 (???)setz man
(???)in
(?)ergibt sich:
M
in
;B
(k
2 +k
3 )(k
1 +k
3 )
k
1
+Bk
2
=0
=) B = M
in
1
(k
2 +k
3 )(k
1 +k
3 )
k
1
;k
2
= M
in
k
1
(k
2 +k
3 )(k
1 +k
3 );k
2 k
1
=
180
kgh
;14h
;14
2
h
;2;16h
;2= 4
kg
A = 4
kg
144
=14
kg
3
d) Der Stationärzustand von
Aund
Berhöht sich ebenfalls um 20%, weil das System linear ist!
e)
dC
dt
= dA
dt +
dB
dt
= M
in
;k
3
(A+B)=M
in
;k
3 C
=)
13%
=
ln0:13
;k
3
2
k
3
= 2
10
h
;1 =0:2h
Aufgabe 3 6 Punkte
a)
F
g
=V
g (c
s
;c
1 )
v
g
= 1
md
;1c
s
= 14
mgl
;1 =14gm
;3F
g
= 3
gm
;2d
;1) c
1
=
;F
g +v
g c
s
v
g
=
;F
g
v
g +c
s
=
;3
gm
;2d
;13
md
;1 +14gm
;3 =11gm
;3 =11mgl
;3b)
c1
c2
c) Im Stationärzustand muss der Fluss über den gesamten Querschnitt A gleich dem Fluss in der Röhre sein.
F
Gas
=
3
gd
;10:25
m
2 =Fdif =KC
s
) K =
F
dif s
C
=
12
gd
;1m
;210m
11
gm
;3;1gm
;3= 12
m
2d
;14
d)
c1
c2
e)
c1
c2
