Aufgabe 1 7 Punkte

Musterlösung Frühling 2000

Aufgabe 1 7 Punkte

a) 1 Punkt

b)

A w r A A A

r A

A

k k C

V C J V C Q V k

J dt

dC = −

− = − ( + ) 2 Punkte

Stationärzustand : = 0 dt dC

= −

+

⋅

A

k k C

V

J ( )

0

) (

A

A

V k k

C J

= +

∞

B w A r B A

r

B

C k C k C

V C Q dt k

dC =

− = −

Stationärzustand : = 0 dt dC

k

A B

Q J

Q, J

, J

Ernte

) (

)

(

r A w r

A w r A

w r B B

k k J k k k

J k k V C Q k QC k

J = +

= +

=

=

c)

= = 10

w r A B

k k C

C 1 Punkt

mit V k

= Q

⇒

Q Vk k

k

w r

=

= 10

⇒ 10 Vk

Q =

d) = 0 . 5

A B

J

J 1 Punkt

5 .

= 0

= +

w r

r A B

k k

k J

J

⇒ ^k

^{= 0 . 5 k}

^{+ 0 . 5 k}

⇒ 0 . 5 k

= 0 . 5 k

⇒

V k Q

k

=

= ⇒ Q = Vk

e)

B A

J

= J

ε unabhängig von J

, bleibt also ε = 0.5 1 Punkt

da k

= k

und Q ∼ k

folgt für

w r

r B A

k k

k J

J

= +

= ε

3 1 3

2 = =

= +

r r w r

r neu

k

k

k

k

ε k

Aufgabe 2 7 Punkte

a)

1 0

1

C k C

V Q dt

dC = − = − 1.5 Punkte

2 2 1 2 2 2 0 1 2 2 0

C k C k V C

C Q V Q dt

dC = − = −

b) Lösung homogene Diff.gl. 1.Ordnung mit konst. k: 1.5 Punkte C

(t) = C

e

Maximalkonz. ist C

= V

M

0 1

( ) C

t

C = 0.05 = e

mit k

=

1 0

V Q

⇒

0.05 = e

ln 0.05 = -1 1/d⋅t t = - ln 0.05 ≈ 3 d

c) ^C

^C

1 Punkt

fallende e-Funktion

t C

(0) = 0

C

= 0

d) 1.5 Punkte Da k

= Q

/V

= 1 d

ist bereits nach 5 Tagen alle Substanz aus See 1 ausgespült und daher wird keine weitere Substanz aus See 1 in See 2 gespült. Daher erfolgt in See 2 nur noch Auswaschung gemäss α = k

= Q

/V

!

e) 1.5 Punkte

Nun Rückkoppelung aus See 2 nach See1. Es wird dadurch eine relativ zum Volumen V

grosse verunreinigte Wassermenge Q

aus See 2 zurückgepumpt.

Dadurch nimmt die Konzentration der Substanz in See 1 langsamer ab als in Fall c).

Insgesamt ist also die Verweilzeit im System (See1 und See2) viel grösser.

Aufgabe 3 7 Punkte

a) Es gilt: 1.5 Punkte

s s m m D

t

y

2 2

/ 1.25 10

2

25 = ⋅ 10

= ⋅

=

mit

t

x t

v = x =

⇒ x

= v ⋅ t

x

= 0.2 m/s ⋅ 1.25⋅10

s = 2.5⋅10

m = 2.5 km

b) Verdünnung des Stoffes: 1 Punkt

Fluss Q

= 0.2 m

/s = 2 ⋅10

L/s Einleitung Q = 1 L/s

Verdünnungsfaktor 1:200 C

= 400 mg/L / 200 = 2 mg/L

oder : C

⋅ Q

= C

⋅ Q

C

=

⋅ s m

s m

/ 2 . 0

/ 10

3 3 3

400 mg/L = 2 mg/L

c) Abbau des Stoffes 1.5 Punkte

1

1

k C

dt dC

−

= C(t) = C

e

C

= C

e

=

=

= 0 . 05

/ 2

/ 1 . 0

1

mg L

L mg C

C

e

- k

t = -3

10 6 ⋅

−

− k

x

= 0.5 ⋅ 10

s ⋅ 0.2 m/s = 0.1 ⋅ 10

m = 10

m = 1 km

d) 1.5 Punkte

Da es sich um ein lineares Modell (Mischung durch Diffusion und Abbau nach Reaktion 1. Ordnung) handelt, können beide Prozesse überlagert werden. Der Grenzwert wird bereits früher erreicht und zwar bei:

x

*= x

- x

= 1.5 km

Abbaugeschwindigkeit ist unabhängig von der Anfangskonzentration (Reaktion 1.Ordnung):

0.01 0.1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 2 0 0 0 2 5 0 0 3 0 0 0 3 5 0 0

A b b a u C 0 A b b a u C m i x

Konzentration

Distanz Einleitung CG r e n z

CMix

C 0

e) k C J

x v C y D C t C

r

+

∂ −

− ∂

∂

= ∂

∂

∂

2 2

1.5 Punkte