I/T5 - WS 04/05 CR – Übung 4 Termin: 26.-30.11.04
Fast singuläre Matrizen, Kondition, Normen, Determinante und Inverse
Die Aufgabe soll zeigen, dass systematisch aufgebaute Matrizen häufig sehr viel anfälliger gegen Rundefehler sind, als Matrizen mit unregelmäßigem Aufbau. Wir vergleichen deshalb zwei Fol- gen von Matrizen mit wachsender Zeilenzahl N. Die erste Matrix-Folge ist unsystematisch aufge- baut: Ihre Komponeneten sind gleichmäßig verteilte Zufallszahlen. Die zweite Matrix-Folge ist systematisch strukturiert: Sie besteht aus Vandermonde-Matrizen, deren Zeilen aus Zufallszahlen generiert sind.
Eine Vandermonde-Matrix A entsteht wie im folgenden beschrieben. Rasterpunkte auf der t- Achse eines Koordinatensystems tn,n=1,...,N werden in einem Zeilenvektor t zusammengefasst, aus dessen elementweise gebildeten Potenzen die Spalten der Matrix A entstehen:
] [ ]
[akn = tkN−n
=
A , d.h. jede Zeile von A beinhaltet eine Potenz des Rasters t in absteigender Rei- henfolge.
Mathematisch nachweisbar hat immer A Höchstrang, außer wenn zwei Rasterpunkte zusammen- fallen: dann wird A singulär und diesen Fall vermeiden wir. Systematisch strukturierte Matrizen werden erfahrungsgemäß häufig mit wachsendem Format immer schlechter konditioniert. Wir wollen diese Behauptung überprüfen und die numerischen Eigenschaften der Matrix A mit wach- sendem n = 1,...,N untersuchen.
Entwickeln Sie ein MatLab-Programm, das folgendes leistet:
Für n=1, 2,...,N =40 ist je eine Matrix A aus gleichverteilten Zufallszahlen zu erzeugen.
Folgende Daten sind für jedes n zu berechnen und in Vektoren a, c, d, r zu speichern:
) det(A
n =
a , cn =1/cond(A), dn =rcond(A), Rang( )rn = A .
Um den Konditionsverlust bei wachsendem n zu veranschaulichen, berechnen Sie bei je- dem Durchlauf der Schleife die Matrix B = A/A – A\A. Mathematisch müsste immer die Nullmatrix entstehen, da A\A und A/A jeweils Einheitsmatrizen sind (Produkte mit der In- versen von rechts bzw. links). Tatsächlich wird B aber ungenau, also keine Nullmatrix und damit auch B ≠0. Berechnen Sie für jede Matrix B eine der in Matlab verfügbaren Nor- men und speichern Sie diese in einem Vektor b.
Zeichnen Sie die so entstandenen Vektoren a (rot), b (grün), c (hellblau), d (blau) als gestrichelte Kurven halblogarithmisch (semilogy). Das Bild gibt Aufschluss über die nu- merische Qualität der erzeugten Matrizen. Sie sollte bei wachsendem n einigermaßen gleich bleiben.
Der selbe Arbeitsablauf ist jetzt mit Vandermonde-Matrizen zu wiederholen. Zur Erzeu- gung einer Vandermonde-Matrix wird ein Zeilenvektor t mit n Rasterpunkten aus gleich- mäßig verteilten Zufallszahlen auf der reellen t-Achse erzeugt und aufsteigend sortiert. Die MatLab-Routine vander erzeugt aus t die Matrix A. Lästige Warnungen mit warning off ausblenden – wir erwarten ja schon, dass es Konditionsprobleme gibt.
Folgende Daten sind wieder für jedes n zu berechnen und in Vektoren a, b, c, d, s zu spei- chern: an = det(A) , bn = A A - AA-1 -1 , )cn =1/cond(A , ,
.
) ( rcond A
n = d Rang( )
Rn = A
Zeichnen Sie die so entstandenen Vektoren a (rot), b (grün), c (hellblau), d (blau) als durchgezogene Kurven halblogarithmisch ins vorhandene Bild. Das Bild gibt Aufschluss
über die numerische Qualität der erzeugten Matrizen. Sie wird offenkundig umso schlech- ter, je größer n wird, d.h. je näher Rasterpunkte auf der t-Achse zusammenrücken.
Damit die Graphik deutlicher wird, sollten Sie den Bildausschnitt in y-Richtung zwischen 10-30 und 1010 einschränken und außerdem die Konstante eps als horizontale Gerade (z.B.
schwarz gestrichelt) einzeichnen. Sie zeigt Ihnen, bis zu welchem Format nxn die Van- dermonde-Matrix einsetzbar ist.
Geben Sie die Ränge r und R aller Matrizen A tabellarisch aus. Die Zufallsmatrizen soll- ten alle Höchstrang aufweisen. Überprüfen Sie, ab welchem Format nxn der Höchstrang der Vandermonde-Matrix numerisch verloren geht. Vergleichen Sie das Ergebnis mit Ihrer Graphik.
Beantworten Sie folgende weiteren Fragen:
o Warum sinkt die Konditionskurve (hellblau) nicht unter einen bestimmten Wert?
o Warum beginnen nicht alle Kurven bei n = 1?
