I/T5 - WS 04/05 CR – Übung 8 Termin: 10.-14.01.05 Kurvenlänge und Flächenberechnung Ihre Aufgabe ist es, den Flächeninhalt

I/T5 - WS 04/05 CR – Übung 8 Termin: 10.-14.01.05

Kurvenlänge und Flächenberechnung

Ihre Aufgabe ist es, den Flächeninhalt A und den Umfang U des Schaukelpferdes aus der Übung 7 (ohne die Kufen) mit verschiedenen Methoden zu berechnen. Vergleichen Sie die Ergebnisse!

1. Tabellenintegration: Die Randkurve wurde bereits erfasst und gespeichert als Folge von Kno- tenpunkten Pm =

(

xm^,ym

)

^,m=^1,...,M . Hieraus kann man näherungsweise den Umfang U0 als Summe von Abständen P P_{m m+1} aufeinander folgender Punkte ermitteln. Ein Näherungswert A0 für den Flächeninhalt ergibt sich bei zyklischer Indizierung über die Vieleckflächenformel

( )

1

0 1 1

1

1 2

M

m m m

m

A x x y

−

+ −

=

=

∑

− ^.

2. Funktionsintegration: Die Randkurve wird durch 2 parametrische Spline-Funktionen x t y t( ), ( ) beschrieben mit 1≤ ≤t M (Knotenzahl). Damit lauten die Formel für die Kurvenlänge

2 2

1

( ) ( )

M

U =

∫

x t^& +y t dt^& und den Flächeninhalt

1

1 ( ( ) ( ) ( ) ( )) 2

M

A=

∫

x t y t^& −y t x t dt^{& (x y}& &^, sind Ablei- tungen nach t). Wenn man die beiden Integranden als Funktionen von t formuliert, kann man U und A mit Integrationsroutinen berechnen (z.B. quadl oder romberg).

3. Polynome und Ableitungen: Die Spline-Funktionen ( ), ( )x t y t sind stückweise Polynome der Form p t_m( )=d s_m ³+c s_m ²+b s_m +a_m, wobei s= −t t_m. Die Ableitung p t&_m( ) kann man daraus ex- akt berechnen: p t&_m( )=3d s_m ²+2c s b_m + _m.

In Matlab werden die Spline-Koeffizienten in einer Struktur p gespeichert, deren einzelne Kom- ponenten b, C, l, k die Funktion unmkpp liefert: [b,C,l,k]=unmkpp(p);

b (= Base Points): Zeilenvektor, der die Rasterpunkte t_m enthält.

l (= M-1): Anzahl der Splines p t_m( ).

k (= 4): Spaltenzahl, Grad der Spline-Funktionen +1

C l k× −Matrix, deren Zeilen die Polynomkoeffizienten enthalten: d_m,c b a_m, _m, _m ist Zeile m.

Umgekehrt kann man mit mkpp eine Struktur dp erzeugen, die gerade die Ableitungen unserer Splines enthält. Dazu muss man aus C die passende Matrix D mit den oben beschriebenen Koeffi- zienten der Polynome p t&_m( ) zusammensetzen und dp=mkpp(b,D); aufrufen.

4. Integranden von U und A: Wir bezeichnen die Spline-Struktur von ( )x t mit p, von ( )y t mit q.

Die Strukturen ihrer Ableitungen seien dp und dq. Mit Hilfe dieser Strukturen lassen sich die bei- den Integranden α( )t = x t&( )²+y t&( )² und ( )β t =x t y t( ) ( )& −y t x t( ) ( )& über ppval als Matlab- Funktionen in function-m-Files berechnen.

Ihr Matlab-Programm soll folgendes leisten:

• Einlesen der Bildpunkte aus der Datei xy.pt mit load. Speichern Sie die xy-Koordinaten in 2 Spaltenvektoren u,v. Entfernen Sie den 1. Punkt (das Auge) aus u,v. Fügen Sie den letzten Bildpunkt an erster Stelle in u,v ein, damit die Kurve geschlossen ist.

• Berechnen Sie den ungefähren Umfang U0 des Pferdes mit norm.

• Berechnen Sie den ungefähren Flächeninhalt A₀ des Pferdes mit trapz.

• Berechnen Sie (parametrischen) Spline-Strukturen p für ( )x t und q für ( )y t mit spline.

• Berechnen Sie die Spline-Strukturen dp und dq der Ableitungen ( ), ( )x t y t& & . (Hierbei ist auch die Matlab-Funktion repmat hilfreich).

• Formulieren Sie function-m-Files für die Integranden α( )t = x t&( )²+y t&( )² und ( )t x t y t( ) ( ) y t x t( ) ( )

β = & − & .

• Berechnen Sie die Integrale ^{2 2}

1

( ) ( )

M

U =

∫

x t^& +y t dt^{& und}

1

1 ( ( ) ( ) ( ) ( )) 2

M

A=

∫

x t y t^& −y t x t dt^{& mit} einer Genauigkeit von mindestens 8 Dezimalstellen.

• Vergleichen Sie zur Kontrolle A mit A0 und U mit U0.