Geometrische Methoden

Prof. Dr. Volker Kaibel Dipl.-Math. Stefan Weltge Wintersemester 2013/2014

Geometrische Methoden

in der Diskreten Optimierung – Blatt 7

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise13/gmdo/

Besprechung: 12. Dezember 2013 Completion Time Polytope

Aufgabe 1

Sei D= ([n], A) der vollst¨andige Digraph auf n Knoten sowie p_i >0 f¨uri=1, . . . , n. Eine Orientierung O ⊆A des Graphen D ist eine Auswahl von B¨ogen, so dass f¨ur jedes Paar i, j ∈ [n], i ≠ j entweder (i, j) ∈ O oder (j, i) ∈ O gilt. F¨ur einen Vektor c ∈Rⁿ sei das Gewicht einer Orientierung definiert als c(O) ∶= ∑_(i,j)∈Oc_j⋅p_i.

Zeigen Sie, dass min{c(O) ∶ O Orientierung von D} von einer azyklischen Orientierung angenommen wird.

Aufgabe 2

F¨ur n≥1 undp_i >0 f¨uri=1, . . . , n sei

P ∶=conv({f(p, σ) ∈Rⁿ∶σ∶ [n] → [n]Permutation})

dascompletion time polytope (Notationf(p, σ)siehe ¨Ubungsblatt 6). Zeigen Sie, dass das Polytop

Q∶= {y∈ [0,1]^n×n∶y_i,j =1−y_j,i f¨ur allei≠j y_i,i=1 f¨ur alle i∈ [n] }

zusammen mit der Projektionπ(y)_j ∶= ∑ⁿ_i=1p_iy_i,j eine Erweiterung f¨ur P ist.

Spannbaum-Polytop Aufgabe 3

Einfach: Sei Q⊆R^p+k ein Polyeder, c∈R^k und

P = {x∈R^p ∶ ⟨a, x⟩ + ⟨b, c⟩ ≤0 ∀ (a, b) ∈Q}. Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 2.11 aus der Vorlesung, dass

xc(P) ≤xc(Q) +1 gilt.

Aufgabe 4

Sei (V, E) der vollst¨andige ungerichtete Graph auf n Knoten sowie w∈V. Sei weiterhin x∈ [0,1]^E. Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen ¨auqivalent sind:

a) x(E(S)) ≤ ∣S∣ −1 f¨ur alle ∅ ≠S ⊆V mit w∈S

b) max{∑_e∈Ex_ea_e− ∑_v∈W∖{w}b_v∶b_v ≥0∀v ∈V ∖ {w}, a_e≤b_v ∀e∈δ(v), v∈V} =0 (Hinweis: Machen Sie sich klar, dass das System in b) durch eine TU-Matrix beschrieben wird.)

Bitte wenden!

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in der Diskreten Optimierung – Blatt 7 S. 2/2

Aufgabe 5

Sei (V, E) der vollst¨andige ungerichtete Graph auf n Knoten. Das Spannbaum-Polytop P_spt⊆ [0,1]^E ist definiert als konvexe H¨ulle aller charakteristischen Vektoren von Spannb¨aumen in(V, E). Es ist bekannt¹, dassP_sptdie L¨osungsmenge des folgenden Ungleichungssystems ist:

x(E) =n−1

x(E(S)) ≤ ∣S∣ −1 ∀ ∅ ≠S⊆V x∈ [0,1]^E

Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgaben 1 und 2, dass xc(Pspt) ∈ O(n³)gilt.

1Kombinatorische Optimierung: Das Baum-Polytop ist ein Matroid-Polytop.