3.1 Konstruktion von minimalen Spannb¨aumen

(1)

3.1 Konstruktion von minimalen Spannb¨ aumen

Es gibt zwei Prinzipien f¨ ur die Konstruktion von minimalen Spannb¨ aumen (Tarjan):

”blaue“ Regel

”rote“ Regel

EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannb¨aumen 416/436

ľErnst W. Mayr

(2)

Satz 100

Sei G = (V, E) ein zusammenh¨ angender ungerichteter Graph, w : E →

R

eine Gewichtsfunktion, C = (V

₁

, V

₂

) ein Schnitt (d.h.

V = V

1

∪ V

2

, V

1

∩ V

2

= ∅, V

1

6= ∅ 6= V

2

). Sei weiter E

_C

= E ∩ (V

1

× V

2

) die Menge der Kanten

” ¨ uber den Schnitt hinweg“. Dann gilt: (

”blaue“ Regel)

1

Ist e ∈ E

_C

die

einzige

Kante minimalen Gewichts (¨ uber alle Kanten in E

_C

), dann ist e in

jedem

minimalen Spannbaum f¨ ur (G,w) enthalten.

2

Hat e ∈ E

C

minimales Gewicht (¨ uber alle Kanten in E

C

), dann gibt es einen minimalen Spannbaum von (G,w), der e enth¨ alt.

ľErnst W. Mayr

(3)

Beweis:

[durch Widerspruch]

1

Sei T ein minimaler Spannbaum von (G, w), sei e ∈ E

_C

die minimale Kante. Annahme: e / ∈ T . Da T Spannbaum

⇒ T ∩ E

C

6= ∅.

Sei T ∩ E

_C

= {e

₁

, e

₂

, . . . , e

_k

}, k ≥ 1. Dann enth¨ alt T ∪ {e}

einen eindeutig bestimmten Kreis (den sogenannten durch e bzgl. T bestimmten Fundamentalkreis). Dieser Kreis muss mindestens eine Kante ∈ E

_C

∩ T enthalten, da die beiden Endpunkte von e auf verschiedenen Seiten des Schnitts C liegen.

ľErnst W. Mayr

(4)

Beweis (Forts.):

r r r AA

AA AA

r r r jj

j e

e

⁰

V

₁

V

₂

@@ r

H HH

@@ HH H

r

@@ r

r

r r AA

AA

AA AA

r r

j je⁰

e

T

Sei e

⁰

∈ E

C

∩ T . Dann gilt nach Voraussetzung w(e

⁰

) > w(e). Also ist T

⁰

:= T − {e

⁰

} ∪ {e} ein Spannbaum von G, der echt kleineres Gewicht als T hat, Widerspruch zu

” T ist minimaler Spannbaum“.

ľErnst W. Mayr

(5)

Beweis (Forts.):

2

Sei e ∈ E

C

minimal. Annahme: e kommt in

keinem

minimalen Spannbaum vor. Sei T ein beliebiger minimaler Spannbaum von (G, w).

r r r

j r

j j

j r

r e

V

₁

V

₂

e /∈ T∩E_c 6=∅

e / ∈ T ∩ E

_C

6= ∅. Sei e

⁰

∈ E

_C

∩ T eine Kante auf dem durch e bez¨ uglich T erzeugten Fundamentalkreis. Dann ist

T

⁰

= T − {e

⁰

} ∪ {e} wieder ein Spannbaum von G, und es ist w(T

⁰

) ≤ w(T ). Also ist T

⁰

minimaler Spannbaum und e ∈ T

⁰

.

ľErnst W. Mayr

(6)

Satz 101

Sei G = (V, E) ein ungerichteter, gewichteter,

zusammenh¨ angender Graph mit Gewichtsfunktion w : E →

R

. Dann gilt: (

”rote“ Regel)

1

Gibt es zu e ∈ E einen Kreis C in G, der e enth¨ alt und w(e) > w(e

⁰

) f¨ ur alle e

⁰

∈ C \ {e} erf¨ ullt, dann kommt e in

keinem

minimalen Spannbaum vor.

2

Ist C

₁

= e

₁

, . . . , e

_k

ein Kreis in G und

w(e

i

) = max{w(e

_j

); 1 ≤ j ≤ k}, dann gibt es einen minimalen Spannbaum, der e

_i

nicht enth¨ alt.

ľErnst W. Mayr

(7)

Beweis:

1

Nehmen wir an, dass es einen minimalen Spannbaum T gibt, der e = {v

₁

, v

2

} enth¨ alt. Wenn wir e aus T entfernen, so zerf¨ allt T in zwei nicht zusammenh¨ angende Teilb¨ aume T

₁

und T

₂

mit v

_i

∈ T

_i

, i = 1, 2. Da aber e auf einem Kreis in G liegt, muss es einen Weg von v

1

nach v

2

geben, der e nicht ben¨ utzt.

Mithin gibt es eine Kante e ˆ 6= e auf diesem Weg, die einen Knoten in T

₁

mit T

₂

verbindet. Verbinden wir T

₁

und T

₂

entlang ˆ e, so erhalten wir einen von T verschiedenen Spannbaum T ˆ . Wegen w(ˆ e) < w(e) folgt w( ˆ T ) < w(T ), im Widerspruch zur Minimalit¨ at von T .

ľErnst W. Mayr

(8)

Beweis (Forts.):

2

Wir nehmen an, e

i

liege in jedem minimalen Spannbaum (MSB) von G, und zeigen die Behauptung durch Widerspruch.

Sei T ein beliebiger MSB von G. Entfernen wir e

i

aus T , so zerf¨ allt T in zwei nicht zusammenh¨ angende Teilb¨ aume T

1

und T

₂

. Da e

_i

auf einem Kreis C

₁

= e

₁

, . . . , e

_k

in G liegt, k¨ onnen wir wie zuvor e

_i

durch eine Kante e

_j

des Kreises C

₁

ersetzen, die T

1

und T

2

verbindet. Dadurch erhalten wir einen von T verschiedenen Spannbaum T ˜ , der e

_i

nicht enth¨ alt. Da nach Voraussetzung w(e

_j

) ≤ w(e

_i

) gilt, folgt w( ˜ T ) ≤ w(T ) (und sogar w( ˜ T ) = w(T ), da T nach Annahme ein MSB ist). Also ist T ˜ ein MSB von G, der e

_i

nicht enth¨ alt, im Widerspruch zur Annahme, e

_i

liege in jedem MSB von G.

ľErnst W. Mayr

(9)

Literatur

Robert E. Tarjan:

Data Structures and Network Algorithms

SIAM CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics Bd. 44 (1983)

ľErnst W. Mayr

(10)

3.2 Generischer minimaler Spannbaum-Algorithmus

Initialisiere Wald F von B¨ aumen, jeder Baum ist ein singul¨ arer Knoten

(jedes v ∈ V bildet einen Baum)

while Wald F mehr als einen Baum enth¨ alt do w¨ ahle einen Baum T ∈ F aus

bestimme eine leichteste Kante e = {v, w}

ausT heraus

sei v ∈ T , w ∈ T

⁰

vereinige T und T

⁰

, f¨ uge e zum minimalen Spannbaum hinzu od

EADS 3.2 Generischer minimaler Spannbaum-Algorithmus 425/436

ľErnst W. Mayr

(11)

Generischer MST-Algorithmus

"!

# q q

"!

# q q

q q

"!

# q q qq

"!

# q

q HH q q

T T

⁰

T

⁰⁰

T

⁰⁰⁰

V

₁

V

₂

Wald F

EADS 3.2 Generischer minimaler Spannbaum-Algorithmus 426/436

ľErnst W. Mayr

(12)

3.3 Kruskals Algorithmus

algorithm Kruskal (G, w) :=

sortiere die Kanten nach aufsteigendem Gewicht in eine Liste L initialisiere Wald F = {T

_i

, i = 1, . . . , n}, mit T

_i

= {v

_i

}

MSB:=∅

for i := 1 to length(L) do {v, w} := L

_i

x := Baum ∈ F , der v enth¨ alt; co x :=Find(v) oc y := Baum ∈ F , der w enth¨ alt; co y :=Find(w) oc if x 6= y then

MSB:=MSB ∪ {{v, w}}

Union(x, y) co gewichtete Vereinigung oc fi

od

EADS 3.3 Kruskals Algorithmus 427/436

ľErnst W. Mayr

(13)

Korrektheit: Falls die Gewichte eindeutig sind (w(·) injektiv), folgt die Korrektheit direkt mit Hilfe der “blauen“ und “roten“ Regel.

Ansonsten Induktion ¨ uber die Anzahl |V | der Knoten:

Ind. Anfang: |V | klein: √

Sei r ∈

R,

E

r

:= {e ∈ E; w(e) < r}.

Es gen¨ ugt zu zeigen:

Sei T

₁

, . . . , T

_k

ein minimaler Spannwald f¨ ur G

_r

:= {V, E

_r

} (d.h., wir betrachten nur Kanten mit Gewicht < r). Sei weiter T ein MSB von G, dann gilt die

Hilfsbehauptung: Die Knotenmenge eines jeden T

_i

induziert in T einen zusammenh¨ angenden Teilbaum, dessen Kanten alle Gewicht

< r haben.

ľErnst W. Mayr

(14)

Beweis der Hilfsbehauptung:

Sei T

i

=: (V

i

, E

i

). Wir m¨ ussen zeigen, dass V

i

in T einen zusammenh¨ angenden Teilbaum induziert. Seien u, v ∈ V

_i

zwei Knoten, die in T

_i

durch eine Kante e verbunden sind. Falls der Pfad in T zwischen u und v auch Knoten 6∈ V

i

enth¨ alt (also der von V

_i

induzierte Teilgraph von T nicht zusammenh¨ angend ist), dann enth¨ alt der in T durch Hinzuf¨ ugen der Kante e entstehende Fundamentalkreis notwendigerweise auch Kanten aus E \ E

r

und ist damit gem¨ aß der “roten“ Regel nicht minimal! Da T

_i

zusammenh¨ angend ist, folgt damit, dass je zwei Knoten aus V

_i

in T immer durch einen Pfad verbunden sind, der nur Kanten aus E

r

enth¨ alt.

ľErnst W. Mayr

(15)

Zeitkomplexit¨ at: (mit n = |V |, m = |E|)

Sortieren m log m = O(m log n) O(m) Find-Operationen O(m log n)

n − 1 Unions O(n log n)

Satz 102

Kruskal’s MSB-Algorithmus hat die Zeitkomplexit¨ at O((m + n) log n).

Beweis:

s.o.

ľErnst W. Mayr

(16)

Beispiel 103 (Kruskals Algorithmus)

1 2

10 9 7

8 4

8 11

7 6

2 4 14

1 2

3

4 5

6 8 7

h h

h

h h

h h h

t

t t

t

t t

t

⇓ ^minimaler _Spannbaum

1 2

10 9 7

8 4

8 11

7 6

2 4 14

t

t t

t

t t

t

ľErnst W. Mayr

(17)

3.4 Prim’s Algorithmus

algorithm PRIM-MSB (G, w) :=

initialisiere Priority Queue PQ mit Knotenmenge V und Schl¨ ussel +∞, ∀v ∈ V

w¨ ahle Knoten r als Wurzel (beliebig) Schl¨ ussel k[r] := 0

Vorg¨ anger[r] := nil while P Q 6= ∅ do

u := ExtractMin(P Q)

for alle Knoten v, die in G zu u benachbart sind do if v ∈ P Q and w({u, v}) < k[v] then

Vorg¨ anger[v] := u k[v] := w({u, v}) fi

od od

EADS 3.4 Prim’s Algorithmus 432/436

ľErnst W. Mayr

(18)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

1 2

10 9 7

8 4

8 11

7 6

2

4 14

Ausgangszustand:

alle Schl¨ussel = +∞

aktueller Knoten u: it Startknoten: r(=v0)

2 0

+∞ +∞ +∞

+∞

t +∞

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(19)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

1 2

10 9 7

8 4

8 11

7 6

2

4 14

Ausgangszustand:

alle Schl¨ussel = +∞

aktueller Knoten u: it Startknoten: r(=v0)

2 0

+∞ +∞ +∞

+∞

t +∞

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

1 2

10 9 7

8 4

8 11

7 6

2

4 14

suche u := FindMin(P Q) und entferneuausP Q setze Schl¨ussel der Nach- barn inP Qmit

w({u, v})<Schl¨ussel[v]:

(v₁= 8, v₇= 4)

8 +∞ +∞

+∞

4 +∞

i +∞

2 t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(20)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

1 2

10 9 7

8 4

8 11

7 6

2

4 14

(v₁= 8, v₇= 4)

8 +∞ +∞

+∞

4 +∞

i +∞

2 t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

1 2

10 9 7

8

8 11

7 6

2

4 14

1 suche u := FindMin(P Q)

und entferneuausP Q setze Schl¨ussel der Nach- barn inP Qmit

(v₆= 8)

8 +∞ +∞

+∞

8 +∞

+∞

i

2 t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(21)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

1 2

10 9 7

8

8 11

7 6

2

4 14

(v₆= 8)

8 +∞ +∞

+∞

8 +∞

+∞

i

2 t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

1 2

10 9 7

8 11

7 6

2

4 14

1

2

(v₃= 4, v₅= 7, v₈= 2)

8 +∞ 4

+∞

7

2

i

2 t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(22)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

1 2

10 9 7

8 11

7 6

2

4 14

1

2

(v₃= 4, v₅= 7, v₈= 2)

8 +∞ 4

+∞

7

2

i

2 t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

1 2

10 9 7

8 11

7 6 4 14

1

2

(v₁= 7, v₂= 6)

7 6 4

+∞

7

i

2 t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(23)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

1 2

10 9 7

8 11

7 6 4 14

1

2

(v₁= 7, v₂= 6)

7 6 4

+∞

7

i

2 t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

1 2

10 9 7

8 11

7 6

14 1

2 3

4

(v₂= 2, v₄= 10)

7 2

10 7

i t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(24)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

1 2

10 9 7

8 11

7 6

14 1

2 3

4

(v₂= 2, v₄= 10)

7 2

10 7

i t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

1

10 9 7

8 11

7 6

14 1

2 3

4

5

(v₁= 1) 1

10 7

i t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(25)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

1

10 9 7

8 11

7 6

14 1

2 3

4

5

(v₁= 1) 1

10 7

i t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

10 9 7

8 11

7 6

14 1

2 3

4

5 6

solche Nachbarn existieren nicht

10 7

i t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(26)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

10 9 7

8 11

7 6

14 1

2 3

4

5 6

solche Nachbarn existieren nicht

10 7

i t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

10 9

8 11

7 6

14 1

2 3

4

5 6

7

(v₄= 9) 9

i

t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

EADS 433/436

ľErnst W. Mayr

(27)

Beispiel 104 (Prim’s Algorithmus)

10 9

8 11

7 6

14 1

2 3

4

5 6

7

(v₄= 9) 9

i

t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

8 10 11

7 6

14 1

2 3

4

5 6

7

8 Endzustand:

suche u := FindMin(P Q) und entferneuausP Q, damit ist P Q leer und der Algorithmus beendet i

t

t t

t

t t

v0 t

v1 v2 v3

v₄ v₅

v6

v7

v8

ľErnst W. Mayr

(28)

Korrektheit: ist klar.

Zeitkomplexit¨ at:

n ExtractMin

O(m) sonstige Operationen inclusive DecreaseKey

Implementierung der Priority Queue mittels Fibonacci-Heaps:

Initialisierung O(n)

ExtractMins O(n log n) (≤ n St¨ uck) DecreaseKeys O(m) (≤ m St¨ uck) Sonstiger Overhead O(m)

ľErnst W. Mayr

(29)

Satz 105

Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph (zusammenh¨ angend, einfach) mit Kantengewichten w. Prim’s Algorithmus berechnet, wenn mit Fibonacci-Heaps implementiert, einen minimalen Spannbaum von (G, w) in Zeit O(m + n log n) (wobei n = |V |, m = |E|). Dies ist f¨ ur m = Ω(n log n) asymptotisch optimal.

Beweis:

s.o.

ľErnst W. Mayr

(30)

EADS 3.4 Prim’s Algorithmus 436/436 ľErnst W. Mayr