Ubungsaufgaben Differentialgeometrie - SS 2006 ¨
1.1 Gegeben sei die Kurve
c: (0, π)−→R2 mit c(t) = (sin t, cost+ log(tan t 2)), wobei t der Winkel zwischen der y-Achse und dem Vektor c0(t) ist.
a) Zeigen Sie, dass c eine regul¨are para- metrisierte Kurve ist f¨ur t6= π2.
b) Bestimmen Sie f¨ur die ”regul¨aren Be- standteile“ 0 < t < π2 und π2 < t < π jeweils die Bogenl¨ange s = s(t), wenn Sie vom Punkt P0 = (1,0) ausgehend s(π2) = 0 setzen.
c) Zeigen Sie, dass die Parametertransfor- mation s = s(t) regul¨ar f¨ur alle t 6= π2 ist.
-1 -0.5 0.5 1
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
t
c c’
1.2 Gegeben sei die Kurve
c: (−2π,2π)−→R3 mit c(t) = (1 + cos t, sin t, 2·sin t 2).
Man zeige, daß dieses eine regul¨are pa- rametrisierte Kurve ist, die auf der Ku- gel um den Ursprung mit Radius 2 und dem Zylinder (x1−1)2+x22 = 1 liegt.
(Abgabe am 24.04.2006)
