¨Ubungsaufgaben Differentialgeometrie - SS 2006 - 8. Serie - 8.1 Zeigen Sie, dass die ersten Fundamentalformen der Drehfl¨ache f : U −→ R

Ubungsaufgaben Differentialgeometrie - SS 2006¨ - 8. Serie -

8.1 Zeigen Sie, dass die ersten Fundamentalformen der Drehfl¨ache f : U −→ R³,

f(u, θ) = (g(u)·cos θ, g(u)·sin θ, h(u)), (u ∈ I, 0 < θ < 2π) mit reellen Funktionen g = g(u) und h = h(u) gegeben sind durch

I(X, Y) = X^T · g⁰² +h⁰² 0 0 g²

!

·Y.

8.2 Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Kurven der Scharen ϕ(u, v) =v ·cos u = const., v 6= 0,

und

ψ(u, v) = (v² +a²)·sin²u = const., v 6= 0, u 6= π, auf dem Helikoid

f(u, v) = (v ·cos u, v·sin u, a·u), 0< u < 2π, −∞ < v < ∞.

(Abgabe am 19.06.2006)

Ubungsaufgaben Differentialgeometrie - SS 2006¨ - 8. Serie -

8.1 Zeigen Sie, dass die ersten Fundamentalformen der Drehfl¨ache f : U −→ R³,

f(u, θ) = (g(u)·cos θ, g(u)·sin θ, h(u)), (u ∈ I, 0 < θ < 2π) mit reellen Funktionen g = g(u) und h = h(u) gegeben sind durch

I(X, Y) = X^T · g⁰² +h⁰² 0 0 g²

!

·Y.

8.2 Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Kurven der Scharen ϕ(u, v) =v ·cos u = const., v 6= 0,

und

ψ(u, v) = (v² +a²)·sin²u = const., v 6= 0, u 6= π, auf dem Helikoid

f(u, v) = (v ·cos u, v·sin u, a·u), 0< u < 2π, −∞ < v < ∞.

(Abgabe am 19.06.2006)