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8. Klasse ¨ Ubungsaufgaben 8
Strahlensatz, ¨ Ahnlichkeit, Streckung 09
1. Bestimme jeweilsxundy; in welchem Verh¨altnis teiltT die Strecke[AB]?
(a)DTkCB
aa aa
aa aa
aa a
x
10 10 6
15 y
A T B
C D
(b) AB= 15 ACkDB
A
C
T B
D
x y
10 6
15
2. In der Physik werden manchmal Skizzen wie die nebenste- hende betrachtet (mit FHkt). Warum sind das von r, s, t und das von FN, FH, FG gebildete Dreieck ¨ahnlich? Erg¨anze das Streckenverh¨altnis: FFH
G = .......
? S
S SSw
r=
s t
FG FH
FN
p p p
3. Beim nebenstehenden Gartenhaus (Maße in m) betr¨agt der Dach¨uberstand 0,10 m, so dass die bedachte L¨ange 3,60 m be- tr¨agt. In welcher H¨ohe ¨uber dem Boden befindet sich dann die DachrinneT?
H HHHpT
3,40 2,03 2,55
4. (a) Stelle die Formeln in den Strahlens¨atzen aus grund89.pdf so um, dass das Ver- h¨altnis der Streckenst¨ucke, die auf einer Geraden liegen, auf der einen Glei- chungsseite steht: ZA
ZA0 = ...... = ......
(b) Forme weiter um: AAZA0 = ...... = ......
(c) In nebenstehender Skizze istAB = 12, EF = 6,F G= 9, CG= 14,ABkEGundAFkCG. BerechneAD.
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
E F @G
D
A B
C
5. Bei zentrischen Streckungen gibt es ein StreckungszentrumZ, von dem aus eine Figur (z. B. das Dreieck ∆ABC) zur Bildfigur (∆A0B0C0) gestreckt wird.Zliegt auf den Geraden Punkt–Bildpunkt (alsoAA0,BB0,CC0).
(a) Dr¨ucke den Streckungsfaktormauf verschiedene Weisen aus.
(b) Es gibt auch zentrische Streckungen mitm <0.AundA0 lie- gen dann auf verschiedenen Seiten vonZ. Fertige eine Skizze f¨urm =−12 an. Welcher Spezialfall ergibt sich f¨urm=−1?
@
@
@
@
@
@
@@
A A0
Z B
B0 C
C0
6. Einen Pyramidenstumpf kann man sich denken als eine große Pyramide, der man eine zentrisch ver- kleinerte Pyramide weggenommen hat.
B BB
PPP
A B
C
A0 B0
C0 D0
Z
p p 6
6
?
?
H h0
6
?
h
(a) Gegeben sind AB = 5, A0B0 = 3 und die Pyramidenstumpf-H¨ohe H = 1.
Bestimme den Streckungsfaktormund die H¨ohehder Gesamtpyramide.
(b) Vergleiche mit der Pyramiden-Volumen-Formel VPyr = 13Gh (Grundfl¨ache G, H¨oheh) die Volumina der ganzen und der oberen kleinen Pyramide.
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8. Klasse L¨osungen 8
Strahlensatz, ¨ Ahnlichkeit, Streckung 09
1. (a)∆ADT ∼∆ACB, also ADT D = AC
x BC
6 = x+1010 ; 10x= 6x+ 60 x= 15
Ebenso BCAB = AT
15+y T D
10 = 156; 6(15 +y) = 15·10 90 + 6y= 150
y= 10
Teilverh¨altnis ATT B = 1510 = 32 = 10−66
(b)∆AT C ∼∆BT D, also AT
T C = BT
x T D
6 = 10y; 10x= 6y FernerAB=x+y= 15, alsoy= 15−xeingesetzt:
10x= 6(15−x); 10x= 90−6x x= 9016 = 458 = 5,625
y= 15−x= 15− 458 = 758 = 9,375 Teilverh¨altnis AT
T B = xy = 4575 = 35 = 106 2. Die Dreiecke sind ¨ahnlich, da sie in den Winkeln ¨ubereinstimmen, denn:
<) (r, t) = 90◦−<) (t, FG) =<) (FG, FN),<) (s, r) = 90◦ =<) (FN, FH).
FH
FG = k¨urzere Kathete Hypotenuse = s
t 3.
H HH
HH HHH
T x 0,10 1,70
0,52
Nach Einzeichnen einer Hilfslinie auf H¨ohe der Seitenwand folgt:
x
0,10 = 0,521,70, alsox= 0,52·0,101,70 ≈0,03.
Somit befindet sichT etwa2,03−0,03 = 2,00m ¨uber dem Boden.
4. (a) ZAZA0 = ZB
ZB0 = AB
A0B0
(d. h. die Querstrecken verhalten sich wie die vonZ aus gemessenen St¨ucke auf den Schenkeln)
(b) AA0
ZA = ZA0−ZA
ZA = ZA0
ZA −1 = ZB0
ZB −1 = ZB0−ZB
ZB = BB0
ZB AA0
ZA = ZA0
ZA −1 = A0B0
AB −1 = A0B0−AB
AB
A A
A A
A A
A AA
Z A A0
B B0
AAUA A
K A0B0−AB
(c) Betrachte V-Figur vonE aus: DF
EF = CG
EG, alsoDF = CG·EF
EG = 14·66+9 = 5,6.
Betrachte X-Figur vonDaus: ADDF = ABEF, alsoAD = AB·DFEF = 12·5,66 = 11,2.
Tipp: Das Umstellen der Formel ist bequemer, wenn man beim Aufschreiben der Verh¨altnisse die gesuchte Streckenl¨ange in den Z¨ahler schreibt.
5. (a) m= A0B0
AB = A0C0
AC = B0C0
BC = ZA0
ZA = ZB0
ZB = ZC0
ZC
(b) F¨urm=−12 siehe Bild rechts.
F¨urm=−1erh¨alt man eine Punktspiegelung anZ.
@
@
A @
A0 Z
B
B0 C
C0
@@
6. (a) m= A0B0
AB = 35.
F¨ur die H¨ohen gilt der gleiche Streckungsfaktor: hh0 = 35. Fernerh=h0+H.
Aufl¨osen der ersten Gleichung nachh0 und Einsetzen in die zweite liefert h= 35h+H, 25h=H,h= 52H = 2,5.
(b) V = 13Gh, verkleinerte Pyramide:V0 = 13G0h0.
Da Fl¨achen mit dem Faktorm2 zu multiplizieren sind, folgt V0 = 13m2G·mh=m3· 13Gh=m3V
