Universit¨at Augsburg 20. M¨arz 2013
Pizzaseminar zur Kategorientheorie 4. ¨ Ubungsblatt
Aufgabe 1: Sei IdSet : Set → Set der Identit¨atsfunktor auf Set, P : Set → Set der (kovariante) Potenzmengenfunktor undK : Set→Set der Funktor
X 7−→ X×X
f 7−→ f×f := ((a, b)7→(f(a), f(b))).
a) Zeige: Es gibt nur eine einzige nat¨urliche Transformation η: IdSet⇒IdSet, n¨amlich ηX :X→X, x7→x.
b) Zeige: Es gibt nur eine einzige nat¨urliche Transformation ω: IdSet⇒K, n¨amlich ωX :X→X×X, x7→(x, x).
Tipp f¨ur a) und b):Betrachte geeignete Abbildungen 1→X,?7→x.
c) Zeige: Es gibt keine nat¨urliche TransformationP ⇒IdSet, wohl aber eine in die andere Richtung.
d) Wir nehmen an, dass wir f¨ur jede nichtleere MengeX ein bestimmtes ElementaX ∈X gegeben haben. Zeige: Die Setzung τX : X → X, x 7→ aX definiert nicht eine nat¨urliche Transformation IdC ⇒IdC, wobeiC die Kategorie der nichtleeren Mengen und beliebigen Abbildungen bezeichnet.
e) Welche nat¨urlichen Transformationen IdC ⇒IdC gibt es, wenn C die Kategorie der reellen Vektorr¨aume bezeichnet?
Aufgabe 2:
a) SeiF :C → Deine ¨Aquivalenz von Kategorien, mit Quasi-InversemG:D → C. SeiX ein Objekt vonC. Zeige: X initial inC ⇐⇒ F(X) initial inD.
b) Seien nun X und Y Objekte einer Kategorie E. Zeige, dass die Kategorie der M¨ochtegern-Produkte vonXundY ¨aquivalent zur Kategorie der M¨ochtegern-Produkte von Y undX ist. Welche bekannte Aussage folgt daher mit a)?
Aufgabe 3: SeiC dieNumeriker-Kategorie mit
ObC :={Rn|n≥0}, HomC(Rn,Rm) :=Rm×n,
wobei die Morphismenverkettung durch die Matrixmultiplikation gegeben ist. Zeige: Die KategorieC ist ¨aquivalent zur Kategorie der endlich-dimensionalenR-Vektorr¨aume.
Tipp: W¨ahle f¨ur jeden endlich-dimensionalen VektorraumV einen IsoηV :RdimV →V.
Projektaufgabe: Sei ϕ : A → B ein Morphismus in einer lokal kleinen Kategorie C.
Bastele daraus eine nat¨urliche Transformation der Hom-Funktoren HomC( , A) =⇒HomC( , B).
