Pizzaseminar zur Kategorientheorie L¨osung zum 1. ¨Ubungsblatt

Universit¨at Augsburg 8. M¨arz 2013 Tim Baumann

Pizzaseminar zur Kategorientheorie L¨ osung zum 1. ¨ Ubungsblatt

Aufgabe 1:

a) Eine m¨ogliche Antwort ist die KategorieGrp, deren Objekte die Klasse aller Gruppen ist, und die als Morphismen die Gruppenhomomorphismen mit der ¨ublichen Kom- position von Abbildungen besitzt. Initiale und terminale Objekte inGrp sind alle trivialen Gruppen.

b) Wir nennen die Kategorie K und geben den Objekten und den Morphismen im Diagramm Namen und k¨onnen mit diesen die Objekte, Morphismen und die Kompo- sitionsvorschrift direkt angeben:

A

f

idA

B ^{g //}

idB 77 C^{xx idC}

Ob(K) ={A, B, C}

Hom(A, A) ={idA} Hom(B, A) =∅ Hom(C, A) =∅ Hom(A, B) =∅ Hom(B, B) ={idB} Hom(C, B) =∅ Hom(A, C) ={f} Hom(B, C) ={g} Hom(C, C) ={idC} id_A◦id_A= id_A id_B◦id_B = id_B id_C◦id_C= id_C f◦id_A=f g◦id_B=g id_C◦f =f

id_C◦g=g

c) Angenommen id_X undid^e_X sind beides Identit¨atsmorphismen f¨ur ein ObjektX einer Kategorie. Dann gilt f¨ur alle passenden (komponierbaren) Morphismen f und g

f◦id^e_X =f und id_X ◦g=g.

Insbesondere ist id_X = id_X ◦ide_X =ide_X.

Aufgabe 2: Seif :X →Y eine Abbildung zwischen Mengen.

a) Zu zeigen: f injektiv ⇒f Monomorphismus

Seien g, g⁰ :W →X zwei Abbildungen mit f◦g=f ◦g⁰. Zu zeigen:g=g⁰. Sei dazu w∈W beliebig. Dann ist f(g(w)) =f(g⁰(w)) und weil f injektiv ist, g(w) =g⁰(w).

Zu zeigen:f Monomorphismus⇒ f injektiv

Seien x, x⁰∈X beliebig mit f(x) =f(x⁰). Zu zeigen:x=x⁰. Definiere dazu g:{?} →X, ?7→x

g⁰:{?} →X, ?7→x⁰.

Es gilt offensichtlicherweise f◦g=f ◦g⁰, und da f Monomorphismus ist, auch g=g⁰. Also istx=g(?) =g⁰(?) =x⁰.

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b) Zu zeigen: f surjektiv ⇒ f Epimorphismus

Seien g, g⁰ :Y →Z zwei Abbildungen mitg◦f =g⁰◦f. Zu zeigen: g=g⁰. Sei dazu y∈Y beliebig. Daf surjektiv ist, gibt es einx∈X mitf(x) =y.

Rechne:

g(y) =g(f(x)) = (g◦f)(x) = (g⁰◦f)(x) =g⁰(f(x)) =g⁰(y) Zu zeigen:f Epimorphismus⇒ f surjektiv

Sei y∈Y. Zu zeigen: y∈im(f). Definiere dazu g:Y → P({?}), y_e7→ {?}

g⁰:Y → P({?}), y_e7→ {?|y_e∈im(f)}.

Es gilt offensichtlicherweise g◦f =g⁰◦f, und daf Epimorphismus ist, auch g=g⁰. Also ist {?}=g(y) =g⁰(y) ={? |y∈im(f)} und da beide Mengen gleich sind, muss y∈im(f) gelten.

Aufgabe 3: Seienf :X→Y undg:Y →Z Morphismen einer beliebigen Kategorie C.

a) Zu zeigen: f ist Monomorphismus, wenn g◦f Monomorphismus ist.

Seien dazuh, h⁰ :W →X mitf ◦h=f ◦h⁰. Dann ist g◦f ◦h=g◦f ◦h⁰ und da g◦f Monomorphismus ist, folgth=h⁰ wie gew¨unscht.

b) Die zu a) duale Aussage ist:

Seienf :Y →X undg:Z →Y Morphismen einer beliebigen Kategorie. Wenn f◦g Epimorphismus ist, so ist auchf Epimorphismus.

Aufgabe 4:

a) F¨ur diese Aufgabe unterstellen wir die klassische Definition eines Gruppenisomorphis- mus als bijektiven Gruppenhomomorphismus.

Zu zeigen:f Isomorphismus inGrp ⇒ f Gruppenisomorphismus

Wenn f Isomorphismus in Grpist, so ist f ein Gruppenhomomorphismus und besitzt eine Umkehrabbildung f⁻¹, ist also bijektiv. Damit istf nach Definition Gruppenisomorphismus.

Zu zeigen:f Gruppenisomorphismus⇒ f Isomorphismus inGrp

Da f :G→H Gruppenisomorphismus ist, istf insbesondere bijektiv und besitzt daher eine Umkehrabbildung f⁻¹. Diese Umkehrabbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus:

f⁻¹(h◦eh) =f⁻¹(f(g)◦f(_eg)) =f⁻¹(f(g◦_eg)) =g◦_eg=f⁻¹(h)◦f⁻¹(h)e Dabei haben wir verwendet, dassf surjektiv ist, und daherg,_eg∈Gexistieren mitf(g) =h undf(g) =_e ^eh. Damit befindet sichf⁻¹ auch inGrpund bildet dort das Inverse zuf.

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b) Beobachtung: In jeder beliebigen Kategorie sind die Identit¨atsmorphismen sowohl Mono- als auch Epimorphismen, denn wenn id◦f = id◦febzw. g◦id = _eg◦id gilt, folgtf =febzw.g=g_eaus den Kategorienaxiomen.

Wennf Isomorphismus ist, so gibt es einen Morphismusf⁻¹ mit (1) f ◦f⁻¹ = id

(2) f⁻¹◦f = id

Aus Gleichung (1) folgt mit Aufgabe 3b), dassf Epimorphismus ist, und aus Glei- chung (2) folgt mit Aufgabe 3a), dassf Monomorphismus ist.

Die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Gegenbeispielkategorie zeigt:

A

idA

&& f //B ^idBww

Hier istf Monomorphismus und Epimorphismus, da wir f nur mit den Identit¨ats- morphismen id_A und id_B verkn¨upfen k¨onnen und somit wiederf erhalten. Allerdings istf kein Isomorphismus, da es keinen Morphismus von B nach A gibt.

Aufgabe 5: SeiGeine Gruppe. Wir definieren die Kategorie BG durch (1) Ob(BG) ={?}

(2) Hom(?, ?) =G

(3) Die Komposition in BG entspricht der Komposition der Gruppe.

Diese Definition ergibt tats¨achlich eine Kategorie, da die Komposition inG assoziativ ist, und das neutrale Element ausG den Identit¨atsmorphismus auf?stellt. Diese Definition ist auch sinnvoll, da sich aus der Komposition von Morphismen wieder die gesamte Struktur der Gruppe ablesen l¨asst.

In der KategorieBG ist jeder Morphismus invertierbar. Solche Kategorien heißen auch Gruppoide. Wir haben also (beinahe) gesehen: Gruppoide mit nur einem Objekt sind

”dasselbe“ wie Gruppen.

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