Universit¨at Augsburg 13. M¨arz 2013
Pizzaseminar zur Kategorientheorie 3. ¨ Ubungsblatt
Aufgabe 1:
”Funktoren bewahren Isomorphie“: Sei F : C Ñ D ein Funktor zwischen Kategorien C,D und seien X und Y Objekte vonC. Zeige:
XY ùñ FpXq FpYq.
Zeige ferner, dass die Umkehrung ebenfalls gilt, wennF voll und treu ist (siehe Aufgabe 3).
Aufgabe 2: Sei f :P ÑQ einemonotone Abbildung zwischen QuasiordnungenP,Q, d. h.
f¨ur alle x, yPP gilt
x¨y inP ùñ fpxq fpyq inQ.
Uberlege, wie man daraus einen Funktor¨ BP ÑBQder zugeh¨origen Kategorien aus Aufgabe 3 von Blatt 2 basteln kann. Wieso sind die Funktoraxiome erf¨ullt?
Aufgabe 3: Ein Funktor F :C ÑD heißt. . .
a) treu, wenn f¨ur je zwei parallele Morphismen f, g in C (d. h. Morphismen mit gleicher Quelle und gleichem Ziel) gilt:Fpfq Fpgq ùñ f g.
b) voll, wenn es f¨ur alle Objekte X, Y PC und jeden Morphismus h:FpXq ÑFpYq inD einen Morphismus f :X ÑY inC mitFpfq h gibt.
c) wesentlich surjektiv, wenn es f¨ur jedes Objekt Z P ObD ein Objekt X P ObC mit FpXq Z gibt.
Untersuche einen Funktor deiner Wahl daraufhin, ob er treu, voll oder wesentlich surjektiv ist.
Aufgabe 4: Sei C eine Kategorie undA PObC ein Objekt. Wir nehmen an, dass wir f¨ur jedes ObjektX PObC ein bestimmtes Produkt AXPObC gegeben haben. ¨Uberlege, wie man die unvollst¨andige Zuordnungsvorschrift
F: C ÝÑ C X ÞÝÑ AX
zu einer Funktordefinition ausweiten kann. Wie kann man F auf Morphismen definieren?
Wieso sind die Funktoraxiome erf¨ullt?
Projektaufgabe: SeiC eine lokal kleine Kategorie undAPObCein Objekt. Derkovariante Hom- Funktor zu Aist definiert als
A:q C ÝÑ Set
X ÞÝÑ HomCpA, Xq pf :X ÑYq ÞÝÑ f,
wobeif die Abbildung
f: HomCpA, Xq ÝÑ HomCpA, Yq g ÞÝÑ fg
ist. Zeige als Hinf¨uhrung auf den Yoneda-Vortrag, dassAqtats¨achlich ein Funktor ist.
