Dr. T. Timmermann M. Brandenburg timmermt@uni-muenster.de brandenburg@uni-muenster.de
Kategorientheorie
Ubungsblatt 6¨
Aufgabe 1. F¨ur adjungierte Abbildungen ist aus der linearen Algebra die Glei- chung (f2 ◦f1)∗ =f1∗ ◦f2∗ bekannt. Hierzu gibt es eine Analogie in der Kateg- orientheorie:
(a) Es seien Funktoren
C
F1 //
D
G1
oo
F2 //
E
G2
oo
gegeben. Dabei sei Fi linksadjungiert zu Gi f¨ur i = 1,2. Zeige, dass dann F2◦F1 linksadjungiert zu G1◦G2 ist.
(b) Folgere daraus: Sind X, Y Mengen, sodass die freien Gruppen F(X), F(Y) isomorph sind, so sindX, Y isomorph, d.h. gleichm¨achtig. Tipp: Benutze die Vergissfunktoren G2 : (Mod(Q))→(Grp) und G1 : (Grp)→(Set).
Aufgabe 2. Ein Funktor F : C → D sei linksadjungiert zu G : D → C mit der Eins η : 1C → GF und der Koeins ε : F G → 1D. Es sei Fix(GF) ⊆ C die volle Unterkategorie der X ∈C, f¨ur die ηX : X →G(F(X)) ein Isomorphismus ist. Entsprechend ist Fix(F G) ⊆D definiert. Zeige, dass sich F und G zu einer Aquivalenz von Kategorien Fix(GF¨ )∼= Fix(F G) einschr¨anken.
Wende dies auf partielle Ordnungen an (Blatt 5, Aufgabe 3). Wie l¨asst sich damit der Hauptsatz der Galoistheorie interpretieren?
Aufgabe 3. Betrachte die Kategorie der G-Mengen (G-Set) = [G,(Set)] f¨ur eine Gruppe G(Blatt 2, Aufgabe 1).
(a) Finde f¨ur den Vergissfunktor U : (G-Set) →(Set) sowohl einen linksadjun- gierten als auch einen rechtsadjungierten Funktor.
(b) Jede MengeX kann man alsG-Menge mit der trivialenG-Wirkung auffassen (gx := x f¨ur alle g ∈ G und alle x ∈ X). Dies liefert uns einen Funktor T : (Set)→(G-Set). Man ¨uberlege sich auch daf¨ur einen linksadjungierten und einen rechtsadjungierten Funktor.
Aufgabe 4. Zeige, dass der Vergissfunktor (Ab) → (Grp) keinen Rechtsadjun- gierten besitzt.
Anleitung: Wenn R : (Grp) → (Ab) rechtsadjungiert w¨are und G eine Gruppe ist, so zeige man, dass das Bild der Koeins εG : R(G)→ G eine gr¨oßte abelsche Untergruppe von Gist. Diese kann es nur geben, wenn Gabelsch ist.
