Dr. T. Timmermann M. Brandenburg timmermt@uni-muenster.de brandenburg@uni-muenster.de
Kategorientheorie
Ubungsblatt 5¨
Aufgabe 1. Es sei F :C→D eine ¨Aquivalenz von Kategorien. Man zeige, dass F sowohl einen links- als auch einen rechtsadjungierten Funktor besitzt.
Aufgabe 2. Finde f¨ur die folgenden Vergissfunktoren jeweils einen linksadjun- gierten Funktor:
(a) (CRing)→(Ring) Vergiss die Kommutativit¨at (b) (Ab)→(Grp) Vergiss die Kommutativit¨at
(c) (Top)→(Set) Vergiss die Topologie (d) (Top)∗ →(Top) Vergiss den Basispunkt
Zusatz: Finde f¨ur (c) außerdem einen rechtsadjungierten Funktor. Sp¨ater werden wir sehen, dass (a),(b),(d) keinen rechtsadjungierten Funktor besitzen.
Aufgabe 3. Eine partielle Ordnung Sl¨asst sich als Kategorie auffassen (Beispiel 1.5 aus der Vorlesung; f¨ur x ≤ y gibt es genau einen Morphismus x → y). Die Potenzmenge P(X) einer Menge X wird mit der Inklusion als partielle Ordnung aufgefasst.
(a) Was ist ein Funktor zwischen partiellen Ordnungen S →T?
(b) Wann ist ein FunktorS →T zwischen partiellen Ordnungen zu einem Funk- tor T →S linksadjungiert?
(c) Jede Abbildung f :X →Y induziert zwei Funktoren:
f∗ : P(X)→ P(Y) (Bildmenge) f∗ : P(Y)→ P(X) (Urbildmenge) Folgere aus (b), dass f∗ linksadjungiert zu f∗ ist.
Aufgabe 4. Sei R ein kommutativer Ring und U : (Mod(R)) → (Ab) der Ver- gissfunktor. Zeige, dassU sowohl einen linksadjungierten als auch einen rechsad- jungierten Funktor besitzt.
Tipp: Der linksadjungierte Funktor ist (−)⊗Z R. F¨ur den rechtsadjungierten Funktor G muss insbesondere Hom(Ab)(U(R), N) ∼= Hom(Mod(R))(R, G(N)) gel- ten, woraus man die unterliegende Menge vonG(N) ablesen kann.
