Dr. T. Timmermann M. Brandenburg timmermt@uni-muenster.de brandenburg@uni-muenster.de
Kategorientheorie
Ubungsblatt 4¨
Aufgabe 1. Zu welchen bekannten Funktoren sind die darstellbaren Funktoren (a) Hom({∗},−) : (Top) →(Set)
(b) Hom(Z,−) : (Grp)→(Set)
(c) Hom(Z[x, y],−) : (CRing)→(Set) isomorph?
Aufgabe 2. F¨urn∈Nbetrachte den Funktor GLn : (CRing)→(Set), der einen kommutativen RingR auf die Menge der invertierbaren n×n-Matrizen GLn(R) schickt.
(a) Zeige, dass GLndarstellbar ist und gebe eine Darstellung GLn∼= Hom(R,−) explizit an. Tipp: F¨urn = 1 ist dies Beispiel 5.1 (ii) aus der Vorlesung.
(b) Man ¨uberlege sich, dass die Determinante eine nat¨urliche Transformation det : GLn →GL1 ist.
(c) Nach dem Yoneda-Lemma entspricht det einem Element von GL1(R); wie sieht es konkret aus?
Aufgabe 3. Sei G eine Gruppe. Nach Aufgabe 1 von Blatt 2 ist [G,(Set)] iso- morph zur Kategorie der G-Mengen.
(a) Welche G-Mengen entsprechen den darstellbaren Funktoren G→(Set)?
(b) Sei X eine G-Menge. Benutze das Yoneda-Lemma, um die G-Abbildungen G→X zu bestimmen.
(c) Folgere den Satz von Cayley: Jede GruppeGbettet sich kanonisch in Sym(G) ein.
Aufgabe 4. Es seien abelsche Gruppen A, B mit Untergruppen C ⊆A, D ⊆B gegeben. Leite mit dem Yoneda-Lemma
(A⊕B)/(C⊕D)∼=A/C⊕B/D
her. Anleitung: Benutze die folgenden universellen Eigenschaften von direkter Summe und Quotient:
Hom(A⊕B,−)∼= Hom(A,−)×Hom(B,−) Hom(A/C,−)∼={f ∈Hom(A,−) :f|C = 0}
