4. ¨ Ubungsblatt zur

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Christian Meyer Lucia Panizzi

SS 2010 11.05.2010

4. ¨ Ubungsblatt zur

” Partielle Differentialgleichungen: klassische Methoden“

Haus ¨ubung

Aufgabe H1 (Orthogonal System, 4 Punkte) Beweisen Sie, dass die Menge der Funktionen

{coskx,sinkx}_k∈N

orthogonal bezg. desL²-Skalarprodukts

< u, v >_L²_(−π,π)= Z π

−π

u(x)v(x)dx

ist.

Hinweis: Benutzen Sie dabei die Formeln:

cosαcosβ = 1

2[cos(α−β) + cos(α+β)] (∗) sinαcosβ = 1

2[sin(α−β) + sin(α+β)] (∗∗) Aufgabe H2 (Fourier-Methode, 4 Punkte)

Achtung: Wahlaufgabe! Bitte w¨ahlen Sie aus den beiden folgenden Aufgaben eine aus.

Bitte bearbeiten Sie NICHT beide Aufgaben.

(Die Hinweise “mathematische” bzw. “Anwendungsaufgabe” sind nur Empfehlungen; nat¨urlich k¨onnen auch Mathematiker die Anwendungsaufgabe bearbeiten und Ingenieure die mathe- matische Aufgabe.)

• Alternative 1, mathematische Aufgabe

Wir betrachten das Problem der Laplace-Gleichung f¨ur den Einheitskreis aus der Grup- pen¨ubung

∆u= 0 inΩ

u= f aufΓ (P)

wobeif stetig differenzierbar undΩder Einheitskreis seien, d.h.

Ω ={(x, y)|x²+y²<1}.

In der Gruppen¨ubung haben wir gesehen, dass sich die L¨osung von (P) als u(r, ϕ) = a0

2 +

∞

X

n=1

rⁿ(ancosnϕ+bnsinnϕ)

darstellen l¨asst. Ist die Reihe

∞

X

n=1

rⁿ(a_ncosnϕ+b_nsinnϕ) (R)

inΩ¯ gleichm¨aßig konvergent?

Hinweis:Beweisen Sie zun¨achst, dass

∞

X

n=1

|a_n|<∞ und

∞

X

n=1

|b_n|<∞

und nutzen Sie dann das Majorantenkriterium von Weierstraß, um die gleichm¨aßige Konvergenz zu zeigen.

• Alternative 2, Anwendnungsaufgabe

Seienφ, ψ :R→R,l-periodische und hinreichend glatte Funktionen. Wir betrachten die Aufgabe

u_tt = a²u_xx (1)

u(x,0) = ϕ(x) (2)

ut(x,0) = ψ(x) (3)

mit gegebenema∈Rund homogenen Dirichlet-Randbedingungen

u(0, t) =u(l, t) = 0. (4)

Bestimmen Sie die L¨osung mit Hilfe der Fouriermethode. Rechnen Sie dabei rein for- mal ohne die Konvergenz der Reihen zu beweisen.

Hinweis:Die Idee besteht wieder darin, die L¨osung aus (unendlich vielen) partikul¨aren L¨osungen der Form

u(x, t) =X(x)T(t) (5)

zusammenzusetzen, welche die Randbedingungen (4) erf¨ullen.

Abgabe der Hausaufgaben: Am 18.05.10 bzw. 21.05.10 in der ¨Ubung.