Aufgabe 6 SeiK ein K¨orper, undn≥2 eine nat¨urliche Zahl

Prof. Dr. M. Rapoport WS 2003/04 Dr. U. G¨ortz

Lineare Algebra I Pr¨asenzaufgaben, Teil 8

Aufgabe 5

SeiK ein K¨orper undV derK-Vektorraum der 2×2-Matrizen ¨uber K. SeiA∈V eine feste 2×2-Matrix. Die lineare AbbildungL_A:V −→V sei definiert durchX 7→AX−XA.

a) Durch welche Matrix wirdLAbez¨uglich der Standardbasis e₁=

1 0

0 0

, e₂=

0 1

0 0

, e₃ =

0 0

1 0

, e₄ =

0 0

0 1

vonV beschrieben, wenn A=

a b

c d

ist?

b) Berechne dim(imLA) und dim(kerLA) in Abh¨angigkeit von der Matrix A.

c) Gib im FallL_A6= 0 eine Basis von kerL_A an.

d) Gib einen vonAunabh¨angigen dreidimensionalen UnterraumW ⊆V an, so dass imL_A⊆ W f¨ur alleA∈V gilt.

Aufgabe 6

SeiK ein K¨orper, undn≥2 eine nat¨urliche Zahl. Untersuche, welche der folgenden Teilmen- gen vonGLn(K) Untergruppen sind.

a)D={A= (a_ij)∈GL_n(K); a_ij = 0 f¨ur allei6=j}

b)D⁰ =D∪ {A= (a_ij)∈GL_n(K); a_ij = 0 f¨ur allei6=n−j+ 1} c)G={A= (aij)∈GLn(K); aii= 1 f¨ur allei}

d)O ={A∈GL_n(K); A·^tA=E_n}

e) Nun sei K = Q. Ist H = {A = (a_ij) ∈ GL_n(K); a_ij ∈ Z f¨ur allei, j} eine Untergruppe vonGLn(K)?

Aufgabe 7

a) SeiGeine endliche, nicht-leere Menge und · eine assoziative Verkn¨upfung aufG. F¨ur jedes a∈ G seien die Abbildungen la: G−→ G, g 7→ a·g, und ra:G −→ G, g 7→ g·a, injektiv.

Zeige, dass dann (G,·) eine Gruppe ist.

b) Sei p eine Primzahl. F¨ur eine nat¨urliche Zahl n bezeichne nden Rest von n bei Division durch p. Auf der Menge Fp := {0, . . . , p−1} ⊆ N definieren wir Verkn¨upfungen +p und ·p

durch

n+_pm:=n+m, n·pm:=nm, n, m∈F_p. Zeige, dass F_p mit diesen Verkn¨upfungen ein K¨orper ist.

Aufgabe 8

SeiK ein endlicher K¨orper mitq Elementen, und sein≥1.

a) Bestimme die Anzahl der Elemente vonKⁿ. b) Bestimme die Anzahl der Elemente von GL_n(K).