Eine Orthonormalbasis ist tats¨achlich eine Basis

6. Normale Abbildungen

6.1. Erinnerung. SeiV einn-dimensionaler pr¨a-Hilbertraum, also einn-dimensionaler Vektorraum

¨

uberK(=RoderC) versehen auch mit einerSkalarprodukt h·,·ra→K. Dieeuklidische Normist definiert durchkxk=p

hx, xi. Zwei Vektorenx, y∈V heißenorthogonal, falls hx, yi= 0 (x⊥y). Man sagt, dass die Vektorene1, . . . , e_n eineOrthonormalbasisinV bilden falls

hei, e_ji=

(1 fallsi=j

0 sonst , also falls keik= 1, ei⊥e_j f¨uri6=j.

DasStandardskalarprodukt in Cⁿ (oderRⁿ) ist definiert durch:

hx, yi=

n

X

i=1

x_iy_i.

Eine Orthonormalbasis ist tats¨achlich eine Basis. Die Koordinaten bzgl. einer Orthonormalbasis sind leicht zu bestimmen! Den folgenden Satz haben wir auch schon mal gesehen, jetzt aber nochmal als Wiederholung:

Satz 6.1.1. Seie1, . . . , e_n eine Orthonormalbasis vonV. a) Istx∈V mitx=Pn

j=1x_je_j, dann gilt

xi=hx, eii also x=

n

X

j=1

hx, ejiej.

b) Zwei Vektoren x, y∈V sind genau dann gleich, wenn f¨ur allez ∈V die Gleichheit hx, zi=hy, zi gilt. Dies ist weiter ¨aquivalent zuhx, e_ii=hy, e_iif¨uri= 1, . . . , n.

c) IstL:V →Keine Linearform, dann existiert genau einz∈V mit L(x) =hx, zi f¨ur allez∈V. Beweis. a) Es gilt:

hx, eii=

n

X

j=1

hxjej, eii=xi.

b) Seien x, y∈V. Es reicht x=y zu zeigen, fallshx, eii=hy, eiigilt f¨ur allei= 1, . . . , n. Dies folgt aber aus a): Schreibe

x=

n

X

j=1

xjej und y=

n

X

j=1

yjej.

Wegen a) giltx_j=hx, e_jiundy_j =hy, e_ji, also nach der Voraussetzung folgtx=y auch.

c) Setze y_i:=L(ei). Dann gilt

L(x) =

n

X

i=1

x_iL(e_i) =

n

X

i=1

x_iy_i=DXⁿ

i=1

x_ie_i,

n

X

j=1

y_je_jE

=hx, yi.

Satz 6.1.2. SeiT :U →V eine lineare Abbildung und L={e1, . . . , e_n}, L^′ ={f1, . . . , f_m} Ortho- normalbasen inU bzw. inV.

a) IstA=M_T^L,L′,A= (αij), dann gilt

αij =hT ej, fii.

b) F¨urS:U →V linear giltS=T genau dann, wenn

hSx, yi=hT x, yi f¨ur allex, y∈V .

Beweis. a) Folgt einfach aus den Definitionen: in der j-te Spalte vonM_T^L,L′ steht der Koordinaten- vektor von T ej. Diese Koordinaten sind eben

α_ij =hT ei, f_ji.

b) Folgt aus dem obigen Satz b).

6.2. Adjungierte einer linearen Abbildung. Der Vektorraum aller linearen Abbildungen von U nach V wird mitL(U, V) bezeichnet.

Satz 6.2.1. SeiT ∈L(U, V). Es gibt dann genau eine lineare AbbildungT^∗:V →U mit hT x, yi=hx, T^∗yi f¨ur allex∈U,y∈V .

IstA=M_T^L,L′, so gilt

M_T^L∗^′,L=A^⊤=:A^∗.

Die AbbildungT^∗heißt dieadjungierte AbbildungvonT, und die MatrixA^∗ist dieadjungierte der MatrixA.

Beweis. Definiere die Linearform L_y :V →K,L_y(x) :=hT x, yi. Wegen Satz 6.1.1 c) existiert einen eindeutigen Vektor z∈V mit

L_y(x) =hx, zi.

SetzeT^∗y=z. Aus der Eindeutigkeit bekommt man, dassT^∗linear sein muss. N¨amlich: sindy1, y2∈V undλ∈K, so ist

Ly₁+λy₂(x) =hT x, y1+λy2i=hT x, y1i+λhT x, y2i=Ly₁(x) +λLy₂(x) =hx, T^∗y1i+hx, λ^∗_Ty2i.

Beispiel. 1. Sei

A= 0 1

1 0

. So gilt A^∗= 0 1

1 0

=A.

2. Sei

A= 0 1

0 0

. So gilt A^∗= 0 0

1 0

. 3. Sei

A=

cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ

. So gilt A^∗=

cosϕ −sin(−ϕ) sin(−ϕ) cosϕ

=A⁻¹. 4. SeiT gegeben durch der Diagonalmatrix

A=













λ1 0 . . . 0 0 . .. ... ... . .. 0 0 . . . 0 λ_n













(bzgl. einer Orthonormalbasis). Dann die Matrix vonT^∗ ist

A^∗=













λ1 0 . . . 0 0 . .. ... ... . .. 0 0 . . . 0 λ_n











 .

6.3. Eigenschaften der adjungierten Abbildung und der adjungierten Matrix. Im Folgenden werden wir Satz 6.1.2 b) ganz oft benutzen.

0. F¨ur die Identit¨atI:U →U gilt

I^∗=I.

F¨ur die Nullabbildung 0 :U →V gilt

0^∗:V →U die Nullabbildung.

Beweis. Es gelten:

hx, I^∗yi=hIx, yi=hx, yi,hx, o^∗yi=h0x, yi= 0 =hx,0yi.

und

Daraus folgt die Behauptung.

1. F¨urT :V →V giltT^∗∗=T.

Beweis. Seienu, v∈V. Dann gilt:

hT u, vi=hu, T^∗vi=hT^∗v, ui=hv, T^∗∗ui=hT^∗∗u, vi.

2. F¨urS, T ∈L(U, V),λ∈Kgilt

(S+λT)^∗=S^∗+λT^∗. Beweis. Seienu, v∈V. Dann gilt:

h(S+λT)u, vi=hSu+λT u, vi=hu, S^∗vi+λhu, T^∗vi=hu,(S^∗+λT^∗)vi.

3. F¨urS∈L(U, V),T ∈L(V, W) gilt

(T S)^∗=S^∗T^∗. Beweis. Seienu∈U,w∈W. Dann gilt:

hT Su, wi=hSu, T^∗wi=hu, S^∗T^∗wi.

4. F¨urT ∈L(U, V) gilt

KernT = (BildT^∗)^⊥. Beweis. Seiu∈KernT, und seiv∈BildT^∗. Dann gilt

hT u, vi=hu, T^∗vi= 0, alsou∈(BildT^∗)^⊥. Ist umgekehrtu∈(BildT^∗)^⊥, so gilt

0 =hu, T^∗vi und somithT u, vi= 0 f¨ur allev∈V . Daraus folgtT u= 0, d.h. u∈KernT.

5. Es gilt

Rang(T^∗) = Rang(T).

Beweis. Sei A eine Matrix von T. So ist A^∗ eine Matrix von T^∗. Daraus folgt die Behauptung, denn:

Rang(T) = Rang(A) = Rang(A^⊤) = Rang(A^⊤) = Rang(T^∗).

6. F¨urT :V →V gilt

det(T) = det(T^∗)

Beweis. Bemerke zun¨achst, dass f¨ur eine beliebige quadratische Matrix gilt det(B) = det(B).

Diese folgt aus der Definition der Determinante (siehe 4.13). Sei alsoAeine Matrix vonTbzgl. einer Orthonormalbasis. Dann gilt

det(T) = det(A) = det(A^⊤) = det(A^⊤) = det(A^∗) = det(T^∗).

7. F¨urT :V →V undλ∈Kgilt de ¨Aquivalenz:

λ∈σ(T) ⇐⇒ λ∈σ(T^∗).

Beweis. Die Behauptung folgt aus den folgenden ¨Aquivalenzen:

λ∈σ(T) ⇐⇒ det(T−λI) = 0 ⇐⇒ det(T^∗−λI) = 0 ⇐⇒ λ∈σ(T^∗).

6.4. Normale Abbildungen.

Definition. Eine AbbildungT :V →V heißt normal, falls T^∗T =T^∗T gilt.

Beispiel. 1. Die AbbildungT gegeben durch die Matrix A=

0 1 0 0

istnicht normal.

2. Die AbbildungT gegeben durch die Matrix A=

0 1

−1 0

istnormal.

3. IstT^∗=T, oderT^∗=−T, oderT^∗=T⁻¹ so istT normal.

Bemerkung. SeiA=M_T^L,L die Matrix von T bzgl. einer Orthonormalbasis. Dann istM_T^L∗^,L =A^∗, und somit istT genau dann normal, falls

A^∗A=AA^∗ gilt. Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen auch normal.

Satz 6.4.1. SeiT :V →V eine lineare Abbildung, so dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von T in V existiert. Dann istT normal.

Beweis. SeiL eine Orthonormalbasis inV aus Eigenvektoren von T, dann

A:=M_T^L,L =













λ1 0 . . . 0 0 . .. ... ... . .. 0 0 . . . 0 λ_n













, und M_T^L∗^,L=













λ1 0 . . . 0 0 . .. ... ... . .. 0 0 . . . 0 λ_n













=A^∗.

Daraus folgt

AA^∗=A^∗A und somit T^∗T =T T^∗. Satz 6.4.2. IstT normal undx∈V, so gilt

kT xk=kT^∗xk.

Beweis. Es gilt

kT xk²=hT x, T xi=hx, T^∗T xi=hx, T T^∗xi=hT^∗x, T^∗xi=kT^∗xk². Satz 6.4.3. SeiT normal. Iste∈V undλ∈Kmit

T e=λe so gilt

T^∗e=λe, d.h.

Kern(T−λI) = Kern(T^∗−λI).

Beweis. Bemerke zun¨achts das Folgende. Ist T normal, so ist f¨ur jedes λ ∈ K auch die Abbildung T−λI normal. Denn es gilt

(T−λI)^∗(T−λI) = (T^∗−λI)(T−λI) =T^∗T−(λ+λ)T+λ·λI = (T−λI)(T^∗−λI) = (T−λI)(T−λI)^∗. Nun f¨ureundλwie in der Behauptung gilt wegen Satz 6.4.2:

0 =k(T−λI)ek=k(T^∗−λI)ek, alsoT^∗e=λe.

Satz 6.4.4. SeiT normal, und seiene∈V,λ∈Kmit T e=λe.

Setze

W :={e}^⊥=

x∈V :hx, ei= 0 . Dann ist W invariant unterT undT^∗, d.h. es gelten:

T(W)⊆W und T^∗(W)⊆W.

Beweis. Seiw∈W, alsohw, ei= 0. Es gilt

he, T wi=hT^∗e, wi=λhe, wi= 0, d.h.T w∈W.

he, T^∗wi=hT^∗e, wi=λhe, wi= 0, d.h.T^∗w∈W, wir haben hier Satz 6.4.3 benutzt.

Hauptsatz 6.4.5. Sei V ein komplexer, endlichdimensionaler (pr¨a-)Hilbertraum. F¨ur T : V → V linear sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent:

(i) Es gibt eine Basis inV die aus Eigenvektoren von T besteht.

(ii) Die AbbildungT ist normal, d.h.T^∗T =T^∗T.

Beweis. Die Implikation (i)⇒(ii) haben wir im Satz 6.4.1 gesehen.

Nun zur Implikation (ii) ⇒ (i): Wir beweisen mit vollst¨andiger Induktion nach n = dim(V). Der Fall n = 1 is klar: jede Abbildung ist normal und (i) ist auch trivialerweise erf¨ullt. Sei also die Aussage f¨ur n≥1 richtig f¨ur jede normale Abbildung aufW mit Dimension dim(W)≤n. Seie_n+1 ein Eigenvektor f¨ur T : V → V, welcher wegenK =C existiert (siehe Korollar 5.4.2). Wir k¨onnen nat¨urliche_n+1 umnormieren und somit ke_n+1k= 1 erreichen. SeiW ={e_n+1}^⊥ und setzeS :=T|_W (T eingeschr¨ank aufW). So ist, wegen Satz 6.4.4, auch die Abbildung

S:W →W

normal. Da dim(W)≤existiert also nach Induktionsvoraussetzung eine Orthonormalbasise1, . . . , en

in W aus Eigenvektoren von S (also von T). Diese zusammen mit en+1 haben die gew¨unschten Eigenschaften.

6.5. Unit¨are und orthogonale lineare Abbildungen.

Definition. SeiT :V →V linear, das das Skalarprodukt erh¨alt, also mit hT v, T ui=hu, vi f¨ur alleu, v∈V . So heißtT

a) im Falle K=Cunit¨ar;

b) im Falle K=Rorthogonal.

Entscheidend wird das folgende Trick, genanntPolarisierung, das das Skalarprodukt mithilfe der Norm(-Quadrat) bestimmt:

hx, yi= 1

4 kx+yk²− kx−yk² F¨urK=Rgilt:

hx, yi= 1

4 kx+yk²− kx−yk²−ikx−iyk²+ikx+iyk² F¨urK=Cgilt:

(Dies haben wir schon gesehen, siehe 2.10).

Hauptsatz. Sei V komplexer (n-dimensionaler) Hilbertraum. F¨ur T : V → V sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent:

(i) T ist unit¨ar.

(ii) Tistisometrisch, d.h. erh¨alt die L¨angen von Vektoren, genauer :kT vk=kvkgilt f¨ur allev∈V. (iii) T is invertierbar mitT⁻¹=T^∗.

(iv) T ist normal mit

σ(T)⊆

λ:|λ|= 1 . (v) T transformiert Orthonormalbasen in Orthonormalbasen.

(vi) F¨ur jede OrthonormalbasisL inV, bilden die Spalten der MatrixM_T^L,L eine Orthonormalbasis inCⁿ.

(vii) Es gibtein OrthonormalbasisLinV, so dass die Spalten der MatrixM_T^L,Leine Orthonormalbasis inCⁿ bilden.

Beweis. (i)⇒(ii): FallsT das Skalarprodukt erh¨alt, ist es auch isometrisch:

kT xk=hT x, T x,i=hx, xi=kxk².

(ii)⇒ (iii): IstT isometrisch, so istT injektiv, dennT x= 0 impliziert kxk=kT xk= 0, alsox= 0.

Wegen der Dimensionsformel istT auch surjektiv, alsoT ist invertierbar. Wegen Polarisierung gilt hx, yi=hT x, T yi=hx, T^∗T yi.

Aus Satz 6.1.2 b) folgtx=T^∗T x f¨ur jedesx∈V, alsoT^∗=T⁻¹.

(iii) ⇒ (iv): Es gilt T T^∗ = T T⁻¹ =I =T⁻¹T =T^∗T, also T ist normal. Nach Satz 6.4.5 gibt es eine Orthonormalbasis L, so dass M_T^L,L=Adiagonal wird; auf der Diagonale stehen die Eigenwerte λ1, . . . , λ_n. Die AbbildungT^∗ hat einerseits die Matrix

M_T^L∗^,L=A^∗=A^⊤=A, anderseits

M_T^L∗^,L=M_T^L₋₁^,L =A⁻¹. Daraus folgtλ_i=λ⁻¹_i , also die Behauptung.

(iv)⇒ (i): SeiL={e1, . . . , e_n} eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren vonT. So ist, wegen Satz 6.4.3,

hT x, T yi=

n

X

i=1

hT x, eiihT y, eii=

n

X

i=1

hx, T^∗e_iihy, T^∗e_ii=

n

X

i=1

λ_ihx, eii·λihy, eii=

n

X

i=1

hx, eiihy, eii=hx, yi.

(i)⇒(v): SeiL={e1, . . . , e_n} eine Orthonormalbasis inV. Dann gilt

hT ei, T e_ji=hei, e_ji=

(1 fallsi=j 0 fallsi6=j, alsoT e1, . . . , T e_n ist eine Orthonormalbasis inV.

(v)⇒(vi): SeiL={e1, . . . , e_n}eine Orthonormalbasis inV. Nach Voraussetzung bildenT e1, . . . , T e_n eine Orthonormalbasis inV, deren Koordinatenvektoren in den Spalten vonM_T^L,L stehen.

(vi)⇒(vii) ist klar.

(vii)⇒(iii): SeiL eine Orthonormalbasis inV, so dass die Spalten vonM_T^L,Leine Orthonormalbasis f1, . . . , f_n inCⁿ bilden. In Spaltenvektornotation ist also

M_T^L,L= (f1, f2, . . . , fn).

Somit gilt in Zeilenvektornotation:

M_T^L∗^,L=







 f1

⊤

... f_n^⊤







 .

Daraus bekommen wir

M_T^L∗^,LM_T^L,L=







 f1

⊤

... fn

⊤









(f1, f2, . . . , fn) =







hf1, f1i hf1, f2i . . . hf1, fni

... ...

hfn, f1i hfn, f2i . . . hfn, f_ni





=In×n.

D.h.T^∗T =I, also (iii) folgt.

Bemerkung. Im FalleK=Rbetrachte die DrehungT_ϕ um WinkelϕinR² mit matrix Aϕ=

cosϕ −sinϕ sinϕ cosϕ

. Betrachte die folgende Aussage:

(iv^′) Es gibt eine Orthonormalbasis Lin inV, so dass die Matrix vonT hat die Block-Form:

M_T^L,L=





































1 . . . 0 0

... . .. ...

0 . . . 1

−1 . . . 0 ... . .. ... 0 . . . −1

T_ϕ1 . . . 0 ... . .. ...

0 0 . . . T_ϕk



































 ,

Dann gilt:

T orthogonal ⇔ (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv^′) ⇔ (v) ⇔ (vi) ⇔ (vii), wobei ϕ_i 6=mπf¨urm∈Z, und wobei in (vi) und in (vii)Cⁿ durchRⁿ ersetzt werden muss.