Universit¨at Augsburg 19. M¨arz 2013 Matthias Hutzler
Pizzaseminar zur Kategorientheorie L¨ osung zum 2. ¨ Ubungsblatt
Aufgabe 1:
a) Zu zeigen: Es gibt MorphismenX→X undX→1, mit denen X ein Produkt von X und 1 ist.
W¨ahle als Morphismen idX :X →X und den (da 1 terminales Objekt ist) eindeutig bestimmten Morphismus ! :X →1. Nun muss f¨ur jedes M¨ochtegern-Produkt P mit den Morphismen f : P → X und g : P → 1 genau ein Morphismus h : P → X existieren, sodass folgendes Diagramm kommutiert:
X
idX
~~
!
X 1
P
f
``
g
??
h
OO
Existenz vonh:
Setzeh:=f. Es gilt also idX ◦h=h=f. (Das linke Dreieck kommutiert.) Und da
!◦h und g zwei MorphismenP → 1 sind (und 1 terminal ist), gilt auch !◦h = g.
(Das rechte Dreieck kommutiert.) Eindeutigkeit vonh:
F¨ur jedes h :P →X, das das Diagramm kommutieren l¨asst, gilt: idX ◦h= f. Es folgt also soforth=f.
b) Die duale Aussage lautet:
BesitztC ein initiales Objekt 0, so gilt
Xq0∼=X.
(X kann mit den Morphismen idX :X→X und ! : 0→X als Koprodukt vonX und 0 dienen.)
Aufgabe 2:
a) SeienT1 und T2 zwei terminale Objekte einer Kategorie C.
Zu zeigen: Es gibt genau einen IsomorphismusT1 →T2.
Seif der eindeutig bestimmte MorphismusT1 →T2 und gder eindeutig bestimmte Morphismus T2 →T1:
T1 f //T2 oo g
Sowohlg◦f als auch idT1 sind MorphismenT1 →T1, also giltg◦f = idT1 (dennT1 ist terminal). Analog giltf◦g= idT2 (daT2 terminal ist). Wir d¨urfen also schreiben g=f−1 und f ist ein Isomorphismus.
Die Eindeutigkeit des Isomorphismusf folgt direkt daraus, dass T2 ein terminales Objekt ist.
b) Die Definition eines terminalen Objektes lautet angewandt auf die Kategorie der M¨ochtegern-Produkte vonX undY:
Ein terminales Objekt ist ein Diagramm der Form X←R→Y, sodass f¨ur jedes Diagramm der Form X ←Q→Y genau ein Morphismus (X←Q→Y)
→ (X←R→Y) existiert.
Ein Morphismus (X ←Q→Y) → (X ←R →Y) ist dabei ein kommutatives Dia- gramm folgender Form (wobeih:Q→R beliebig ist):
Q
h
X Y
R
`` >>
Da in diesem Diagramm aber bereits alle Objekte und Morphismen außerhvorgegeben sind, lassen sich die Morphismen (X ←Q→Y) → (X←R→Y) (in der Kategorie der M¨ochtegern-Produkte vonX und Y) mit denjenigen Morphismen h:Q→R (in der KategorieC) identifizieren, die das obige Diagramm kommutieren lassen.
Eine weitere ¨aquivalente Definition (und zwar mit den Begriffen der KategorieC) eines terminalen Objektes der Kategorie der M¨ochtegern-Produkte von X und Y lautet also:
Ein Objekt R zusammen mit zwei Morphismen R→X undR→Y, sodass f¨ur jedes Objekt Q zusammen mit zwei Morphismen Q→X undQ→Y genau ein Morphismus h:Q→R existiert, der obiges Diagramm kommutieren l¨asst.
(Das entspricht genau der Definition eines Produktes vonX und Y in C.)
Dies zeigt in Kombination mit Teilaufgabe a), dass das Produkt von zwei Objekten einer Kategorie eindeutig bis aufeindeutigeIsomorphie ist, wenn man Vertr¨aglichkeit mit den Projektionsmorphismen fordert.
Aufgabe 3:
a) Die Objekte der KategorieC seien gerade die Elemente von X:
ObC:=X.
Von einem Objektazu einem Objekt bsoll es genau dann genau einen Morphismus geben, wennab gilt. (Diesen Morphismus nennen wir dann
”ab“.) Ansonsten soll es keinen Morphismusa→bgeben:1
Hom(a, b) :=
({
”ab“} fallsab,
∅ ansonsten.
1Ohne eine Fallunterscheidung kann man die Definition auch etwas kryptisch einfach als Hom(a, b) :=
{”ab“|ab}formulieren. Dann funktioniert die Definition auch in einem konstruktiven Hintergrund, bei dem man ohne Zusatzforderung anX nicht weiß, dassabgilt oder nicht gilt.
Da nun zwischen zwei Objekten (in einer Richtung) immer h¨ochstens ein Morphismus existiert, gibt es f¨ur die Definition der Verkn¨upfungsvorschrift nur eine M¨oglichkeit:
Wir definieren f¨ur beliebige Objektea, b, c∈ObC und Morphismen
”ab“ :a→b und”bc“ :b→c:
”bc“◦
”ab“ :=
”ac“
(Dass dieser Morphismus existiert, folgt direkt aus der Transitivit¨at der Relation .) Zu jedem Objektal¨asst sich ein Identit¨atsmorphismus finden, n¨amlich
”aa“, denn ist auch reflexiv. Dass jeder Morphismus bei Verkn¨upfung mit
”aa“ unver¨andert bleibt, ist klar, da hier Morphismen durch Quelle und Ziel bereits eindeutig bestimmt sind. Aus demselben Grund ist die Verkn¨upfung von Morphismen assoziativ. Damit sind alle Kategorienaxiome erf¨ullt.
Ein kleiner Ausschitt der Kategorie, die auf diese Weise aus der Menge der ganzen Zahlen mit der Teilbarkeitsrelation entsteht, sieht wie folgt aus (Identit¨atsmorphismen weggelassen):
1 //
&& ((
oo −1
~~ !! &&
2 //
ww ~~ '' **
oo −2
tt ww ''
3 //
~~
oo −3
vv }}
4oo //−4 6oo //−6
b) Zwei Objektea,beiner solchen Kategorie sind genau dann isomorph, wenn sowohl ab als auchbagilt:
a∼=b ⇐⇒ ab ∧ ba
”⇒“: Wennaundb isomorph sind, muss es Morphismena→bundb→ageben. Also giltabund ba.
”⇐“: Es existieren die Morphismen
”a b“ und
”b a“. Diese sind offensichtlich Isomorphismen, denn:
”ba“◦
”ab“ ist ein Morphismusa→a, also identisch mit ida und
”ab“◦
”ba“ ist ein Morphismusb→b, also identisch mit idb. c) Definition:
p∈X Infimum vona, b∈X:⇐⇒
∀x∈X: xa∧xb⇐⇒xp
Zu zeigen:
p ist Infimum vonaund b.⇐⇒
Es gibt Morphismen, mit denenp ein Produkta×binC ist.
”⇒“: Dareflexiv ist, alsoppgilt, folgt aus der Definition des Infimums (von rechts nach links), dass die Morphismen
”p a“ und
”p b“ existieren. Mit diesen Morphismen istp tats¨achlich ein Produkt von aund b, denn:
Sei q∈X mit
”q a“ und
”q b“ beliebiges M¨ochtegern-Produkt von aundb.
Dann gilt nach Definition des Infimums (von links nach rechts) q p und die Gleichungen
”pa“◦
”qp“ =
”qa“ und
”pb“◦
”qp“ =
”qb“ sind offensichtlich erf¨ullt.
”⇐“: Seix∈X beliebig.
Falls xaundxbgilt, so ist x mit
”xa“ und
”xb“ M¨ochtegern-Produkt von aundb, es existiert also der Morphismus
”xp“.
Außerdem m¨ussen die Morphismen
”pa“ und
”pb“ existieren (mit denen p Produkt von aund bist), sodass aus xp auchxa undxb folgt.
Damit ist pInfimum von aund b.
Aufgabe 4:
a) SeiX×Y ein Produkt vonX undY und (X×Y)×Z ein Produkt vonX×Y undZ, mit Projektionsmorphismen wie im oberen und durchgezogenen Teil des folgenden Diagramms:
(X×Y)×Z
}} !!
X×Y
!!
X Y Z
P
f
[[
ee jj CC
g
XX
So wird ersichtlich, wie (X×Y)×Z zu einem M¨ochtegern-Dreier-Produkt vonX, Y undZ wird: Sein Projektionsmorphismus aufZ steht direkt dran und seine Projektio- nen aufX und Y ergeben sich als Komposition.
Zum Nachweis der universellen Eigenschaft sei ein beliebiges M¨ochtegern-Dreier- ProduktP gegeben. Wir m¨ussen zeigen, dass es dann genau einen Morphismus g: P →(X×Y)×Z gibt, der die drei Dreiecke
(X×Y)×Z
|| ""
X×Y
##
X Y Z
f P
[[
dd ll CC
g
[[ (X×Y)×Z
|| ""
X×Y
##
X Y Z
f P
[[
dd ll CC
g
[[ (X×Y)×Z
|| ""
X×Y
##
X Y Z
f P
[[
dd ll CC
g
[[
(1)
kommutieren l¨asst. Dazu treffen wir zun¨achst die Beobachtung, dass P zu einem M¨ochtegern-Produkt vonX undY wird. DaX×Y ein tats¨achliches Produkt ist, gibt
es daher genau einen Morphismus f :P → X×Y, der die beiden Teildreiecke des Diagramms
(X×Y)×Z
|| ""
X×Y
##
X Y Z
f P
[[
dd ll CC
g
[[
kommutieren l¨asst. Auf diese Weise wirdP zu einem M¨ochtegern-Produkt vonX×Y undZ, womit folgt, dass es genau einen Morphismus g:P →(X×Y)×Z gibt, der die beiden Teildreiecke des Diagramms
(X×Y)×Z
|| ""
X×Y
##
X Y Z
f P
[[
dd ll CC
g
[[
kommutieren l¨asst. Da die Kommutativit¨at des linken Teildreiecks gleichbedeutend mit der Kommutativit¨at der ersten beiden Diagramme in (1) ist (wieso?), folgt damit die Behauptung.
b) Das Dreier-Produkt ist offensichtlich bis auf Isomorphie kommutativ, da X, Y undZ v¨ollig symmetrisch in die Definition eingehen:
X×Y ×Z ∼= X×Z×Y ∼= Y ×Z×X ∼= · · · . Mit Teil a) folgen daher unmittelbar Gesetze wie
X×Y ×Z ∼= (X×Y)×Z ∼= (X×Z)×Y ∼= (Y ×Z)×X ∼= · · · . Da die symmetrisch umgedrehte Aussage von a) ebenfalls gilt, folgen auch die Isomor- phiebeziehungen
X×Y ×Z ∼= X×(Y ×Z) ∼= X×(Z×Y) ∼= Y ×(Z×X) ∼= · · · .
