Kapitel 5 : Spannungszustand

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Kapitel 5 : Spannungszustand

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§ 5 Spannungszustand

Lernziel:

Bei Stäben haben Sie gelernt, dass die äußere Belastung innere Kräfte verursacht. Die in der Schnittﬂäche verteilten inneren Kräfte werden durch den Spannungsvektor bezeichnet. Abhängig vom Schnittwinkel erhält man – für die gleiche Stelle – unterschiedliche Spannungsvektoren.Ein Spannungsvektor allein reicht also nicht um die Spannung an einem Punkt zu beschreiben.

φ n

F F

A*=A/cosφ

In diesem Kapitel lernen Sie, wie man den Spannungszustand eines Punktes vollständig beschreibt und graphisch darstellt. Dabei wird der wichtige Begriff desSpannungstensorssowie seine Eigenschaften eingeführt.

(3)

§ 5.1 Ebener Spannungszustand

§ 5.1.1 Spannungsvektor und Indexnotation

Wir betrachten eine Scheibe deren Dicketklein gegenüber ihren Seitenlängen ist und die nur in ihrer Ebene belastet wird. Die Belastungen liegen alle parallel zur Scheibenebene. Die Ober- und die Unterseite der Scheibe sind unbelastet.

t x

y

(4)

ΔA

n

t ΔF P

x y

Wir legen einen Schnitt mit dem Schnitt- normalenvektor n durch den Punkt P.

DerSpannungsvektorauf dem Punkt P ist durch

t= lim

∆A→0

∆F

∆A = dF dA

deﬁniert, wobei∆Ader inﬁnitesimale Flä- cheninhalt am Punkt P ist, und∆Fdie auf der Fläche∆Awirkende innere Kraft.

(5)

ΔA

n ΔF P t

x y

σ

τ

Der Spannungsvektortwird in eineNor- malspannungσ, die normal zur Schnitt- ﬂäche steht, und eineSchubspannung τ, die tangential zur Schnittﬂäche liegt, zerlegt. d.h.

t=σn+τs

wobeisein in der Fläche liegender Ein- heitsvektor ist. Daraus folgt

σ=t·n Aus|t|=√

σ²+τ²erhält man

τ = q

|t|²−σ²

(6)

t⁽¹⁾ P

y t⁽²⁾

P

x

y

x x

Für den gleichen Punkt P ändert sich der resultierende Spannungsvektortmit dem Schnittwinkel (also mit der Normalenn).

Um den Spannungszustand zu charakterisieren sind zwei

Spannungsvektoren für zwei unterschiedliche Schnitte erforderlich.

Zweckmäßig wählen wir die zwei senkrecht zu den Koordinatenachsen stehenden Schnitte, die wir eben untersucht haben.

So stelltt⁽¹⁾den Spannungsvektor am Punkt P in der Schnittﬂäche mit Normalenexdar, undt⁽²⁾den Spannungsvektor am selben Punkt P in der Schnittﬂäche mit Normaleney. Diese müssen nicht gleich sein.

(7)

t⁽¹⁾ P

y

σ_xx σ_xy

t⁽²⁾

P

x

y

σ_yx σ_yy

x x

Zerlegung vont⁽¹⁾,t⁽²⁾in die Basisrichtungen desxiKOS:

t⁽¹⁾=σ_xxe_x+σ_xye_y, t⁽²⁾=σ_yxe_x+σ_yye_y Indexnotation:

Zur Kennzeichnung der Komponenten werden Doppelindizes verwendet: Der erste Index gibt jeweils die Richtung der Flächennormalen an, während der zweite Index die Richtung der Spannungskomponente charakterisiert.

(8)

Wir stellen die zwei Schnitte und die darauf wirkenden Spannungsvektoren (in Komponenten) zusammen.

Im Spannungsquadrat stehen auch die zwei anderen Schnitte mit den Normalen−e_xbzw.−e_y. Die Indexkonvention bleibt wie vorhin, daher bleibt nur noch die Vorzeichenkonvention zu erklären: Dementsprechend zeigen positive Spannungen an einem positiven (negativen) Schnittufer in die positive (negative) Koordinatenrichtung.

σ_xx σ_xy

x

σ_yy σ_yx σ_xx

σ_yy σ_xy

σ_yx y

Als Alternative können die Komponenten auch in einer Matrix einsortiert werden:

[σ_ij] =

σ_xx σ_xy σ_yx σ_yy

(x,y)

(9)

Anmerkungen

(1) Das Spannungsquadrat bzw. die Matrix stellt die

Spannungskomponenten eines Punktes auf den Schnitten senkrecht zu den Koordinatenachsen des KOS dar. Das Quadrat bzw. die Matrix entspricht also immer einem bestimmten Ortspunkt und einem bestimmten KOS.

(2) Die Normalspannungenσ_xxbzw.σ_yywerden oft kurz mitσ_xbzw.σ_y bezeichnet. Schubspannungen werden durch ungleiche Indizes

angedeutet, z.B.σ_xy,σ_yx. Sie werden auch oft mitτbezeichnet, z.B.σ_xy= τ_xy,σ_yx=τ_yx

(10)

(3) Senkrecht aufeinander stehende Schubspannungen in zwei senkrecht aufeinander stehenden Schnitten sind wegen des

Momentengleichgewichts gleich; sie werden alseinander zugeordnete Schubspannungenbezeichnet.

σ_xy=σ_yx oder τ_xy=τ_yx Deshalb ist die Matrix symmetrisch:

[σ_ij] =

σ_x τ_xy sym σ_y

σ_xx σ_xy

x σyy

σyx

σxx

σ_yy σxy

σ_yx y

(11)

(4) Die Voigtsche Notation – benannt nach dem Physiker Woldemar Voigt – ist eine abkürzende Schreibweise. Ausgehend von der Indexnotation werden dabei jeweils 2 Indizes nach einer bestimmten Vorschrift zu einem Index zusammengezogen.

In Voigtscher Notation werden die Spannungskomponenten für den Punkt P im KOS (x,y) in einer Reihe dargestellt:

[σ_ij] =

σ_x τ_xy τ_xy σ_y

(x,y−KOS)

→



 σ_x σ_y τ_xy





(x,y−KOS)

(12)

§ 5.1.2 Spannungsvektor auf einem beliebigen Schnitt

Es wird jetzt gezeigt, dass aus den Komponentenσ_x, σ_y, τ_xyin einem (x,y) KOS der Spannungsvektortauf einer beliebigen Schnittﬂäche mit Normalen am Punkt P berechnet werden kann. Dazu brauchen wir nur das

Kräftegleichgewicht eines inﬁnitesimalen Dreiecks in der Umgebung des Punktes P.

(13)

Gegeben sindσ_x,σ_yundτ_xy. Es sind die Spannungskomponenten (σ, τ) bzw.

(tx,ty) auf dem Schnitt mit der Normalennzu bestimmen.

x y

n t

σ_y σ_x

θ

τ_xy τ_yx

τ σ

x y

n t

σ_y σ_x

t_x ty

θ

τ_xy τ_yx

Man kann den Spannungsvektortauf dem Schnitt entweder in seine Komponenten entlang derx- undy-Richtung zerlegen, oder entlang der Normalennund der tangentialen Richtungs.

(14)

(1) Komponenten vontentlang derx- und dery-Richtungen:tx,ty

x y

n t cosθdA dA

σ_y σ_x

t_x ty

sinθdA θ

τ_xy τ_yx

Aus dem Kräftegleichgewicht folgt

PFix=−σxcosθdA−τ_yxsinθdA+txdA=0 PF_iy=−τ_xycosθdA−σ_ysinθdA+t_ydA=0

→ t_x=σ_xcosθ+τ_yxsinθ t_y=τ_xycosθ+σ_ysinθ

Achten Sie darauf, dassσx,σy,τxy,σ,τ,tx, undtynur Flächenkräfte sind. Bei Einsetzen in die GGB müssen die Größen der Flächen berücksichtigt werden.

(15)

(2) Normale und tangentiale Komponenten vont:σ, τ

x y

n t dA

cosθdA

σ_y σx

sinθdA θ ξ η

τxy

τ_yx

σ

τ

PFiξ =σdA−(σxdAcosθ) cosθ

−(τxydAcosθ) sinθ−(σ_ydAsinθ) sinθ

−(τ_yxdAsinθ) cosθ=0

PF_iη =τdA+ (σ_xdAcosθ) sinθ

−(τ_xydAcosθ) cosθ−(σ_ydAsinθ) cosθ +(τyxdAsinθ) sinθ=0

σ=σ_xcos²θ+σ_ysin²θ+2τ_xysinθcosθ τ =−(σ_x−σ_y) sinθcosθ+τ_xy(cos²θ−sin²θ)

Man kannσundτauch mit Hilfe einer Rotationsmatrix austxundtyermitteln:

σ τ

=

cosθ sinθ

−sinθ cosθ tx

ty

(16)

Beispiel 5.1 (TM2 Beispiel 2.1a)

Der Spannungszustand eines Punktes im einem Blech wird durch die Spannungen σx=−64 MPa,σy=32 MPa undτxy=−20 MPa imxy-KOS beschrieben. Stellen Sie den Spannungszustand des Punktes in einer Matrix oder einem Quadrat dar und bestimmen Sie dann die Spannungen in einem Schnitt mit dem Winkelθ=−30^◦. σ=σxcos²θ+σysin²θ+2τxysinθcosθ,

τ=−(σx−σy) sinθcosθ+τxy(cos²θ−sin²θ) Lösung:σ= -22.7 N/mm²,τ= -51.6 N/mm²

-30° -30°

Normalspannungσ Schubspannungτ Spannungsvektort

(17)

§ 5.1.3 Spannungstensor, Transformation und In- variante

Die Spannungenσ_x, σ_y, τ_xysind die Spannungskomponenten für den Punkt P im(x,y)-KOS. Wie sehen die Spannungskomponentenσ_ξ, σ_η, τ_ξηfür den Punkt P imξ, η-KOS aus?

σ_x

x

σ_y

y

θ σ_ξ σ_η

η ξ

τ_xy

τξη

σ_ξ, σ_η, τ_ξη =?

(18)

Wir betrachten den Schnitt, dessen Normale umθzurx-Achse geneigt ist, bzw. den Schnitt, dessen Normale umθ+^π/₂zurx-Achse geneigt ist. Aus den Formeln für den Spannungsvektor auf einem beliebigen Schnitt im letzten Abschnitt erhalten wir

σξ =σ_xcos²θ+σ_ysin²θ+2τ_xysinθcosθ ση =σ_xsin²θ+σ_ycos²θ−2τ_xysinθcosθ τ_ξη=−(σx−σ_y) sinθcosθ+τ_xy(cos²θ−sin²θ) oder

σ_ξ, τ_ξη τ_ξη, σ_η

=

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

σ_x, τ_xy τ_xy, σ_y

cosθ sinθ

−sinθ cosθ T

Kommentar: Diese Gleichung deutet an, dass die Spannung ein Tensor 2.

Stufe ist, weil die Transformationsbeziehung zwei mal die Rotationsmatrix beinhaltet.

(19)

Durch Ersetzen voncos²θ= (1+ cos2θ)/2,2sinθcosθ= sin2θ,sin²θ= (1−cos2θ)/2,cos²θ−sin²θ= cos2θfolgt

σξ= ¹₂(σ_x+σ_y) +₂¹(σ_x−σ_y) cos2θ+τ_xysin2θ ση= ¹₂(σx+σy)−₂¹(σx−σy) cos2θ−τxysin2θ τ_ξη= −¹₂(σ_x−σ_y) sin2θ+τ_xycos2θ

(5.1)

σ_x

x σ_y

y

θ σ_ξ σ_η

η ξ

τ_xy

τ_ξη

(20)

Anmerkungen:

(1) Der Spannungszustand am Punkt ist ein Tensor 2. Stufe. Die

Matrixdarstellungen (d.h. die Komponenten) des Spannungstensors sind abhängig vom verwendeten KOS:

σ=

σ_x τ_xy sym σ_y

(x,y)

=

σξ τξη

sym ση

(ξ,η)

(2) Aus den Transformationsbeziehungen (TFB) kann man einfach beweisen, dass die Summe der Normalspannungen und die

Determinante der Spannungsmatrix unabhängig von der Drehung des KOS sind.

σ_x+σ_y=σξ+ση σ_xσ_y−τ_xy² =σξση−τ_ξη² Solche Größen werden alsInvariantbezeichnet.

(21)

(3) Beim Sonderfallσx=σy=σ₀, undτxy= 0, erhält man aus den TFB σξ=ση=σx=σy=σ₀,τξη=0. In Matrixnotation ergibt das

σ= σ₀ 0

0 σ₀

(x,y)

= σ₀ 0

0 σ₀

(ξ,η)

Oder

σ₀

x σ₀

y

θ

ζ ξ

σ0

σ₀

Die Normalspannungen sind hier in allen Schnittrichtungen gleich, während die Schubspannungen immer verschwinden. Man nennt einen solchen

Spannungszustand einenhydrostatischen Spannungszustand. Der hydrostatische Spannungszustand istisotrop, weil sein Komponenten unabängig von der Drehung des KOS sind.

(22)

§ 5.1.4 Hauptspannungen

Die TFB zeigen dass die Spannungskomponenten von der Schnittrichtung (vom Winkelθ) abhängen. Wir untersuchen nun, für welchen Winkel diese

Spannungskomponenten Extremwerte annehmen und wie groß jene sind, wennσx, σy,τxygegeben sind.

Hauptnormalspannungen σξ= 1

2(σx+σy) + 1

2(σx−σy) cos2θ+τxysin2θ

Die Normalspannungen nehmen einen Extremtwert für Schnittrichtungen mitθ^?an, wobeiθ^?die Lösung der Gleichung

dσξ

dθ =−(σx−σy) sin2θ+2τxycos2θ=0 ist:

tan2θ^?= 2τxy

σx−σy (5.2)

(23)

Da die Tangensfunktion mitπperiodisch ist, ist auchθ^?+ ^π₂ Lösung der Gleichungdσξ

dθ = 0, bzw.dση

dθ = 0. Das bedeutet, dass auf den zwei senkrecht aufeinander stehenden Schnittrichtungenθ^?undθ^?+^π₂ die

Normalspannungen ihre Extremwerte annehmen. Diese Schnittrichtungenθ^? undθ^?+ ^π₂ werden alsHauptrichtungenbezeichnet.

Es gelten die folgenden trigonometrischen Formeln

cos2θ^?= 1

√1+ tan²2θ^? = σ_x−σ_y q(σ_x−σ_y)²+4τ_xy²

sin2θ^?= tan2θ^?

√1+ tan2θ^? = 2τ_xy q

(σ_x−σ_y)²+4τ_xy²

(5.3)

(24)

Die zu diesen Hauptrichtungenθ^?undθ^?+^π₂ gehörenden Spannungen lassen sich durch Einsetzen der letzen beiden Gleichungen in die TFB rechnen. Damit erhalten wir

σ₁,2= σ_x+σ_y

2 ±

s

σ_x−σ_y 2

2

+τ_xy² , τ₁₂ =0 (5.4) In Matrixformat und am Quadrat:

σ=

(x,y)

=

σ₁ 0 0 σ₂

(Hauptsp.)

θ*

σ₂ σ1

σ_x

x σy

y

τ_xy

- σ₁ und σ₂ werden

Hauptnormalspannungen oder Hauptspannungen genannt. Es ist üblich, sie derart zu numme- rieren dassσ₁≥σ₂gilt.

- Im Hauptspannungssystem wird die Schubspannung Null.

(25)

Beispiel 5.2 (TM2 Beispiel 2.1 b und c)

Der Spannungszustand eines Punktes in einem Blech wird durch Spannungen σx=−64 MPa,σy=32 MPa undτxy=−20 MPa imx,y-KOS gegeben. Es sind hier die Hauptspannungen und die Hauptrichtungen zu bestimmen und ein Quadratelement zu skizzieren.

11,3°

Normalspannungσ Schubspannungτ σ₁=36MPa, θ=101,3^◦ σ₂=−68MPa, θ=11,3^◦

(26)

Hauptschubspannungen

Analog dazu können die Extremwerte der Schubspannungen und die zugehörigen Schnittrichtungen bestimmt werden.

τξη=−1

2(σx−σy) sin2θ+τxycos2θ

Die extremalen Schubspannungen wirken auf den Schnitten mit Winkelθ^??, wobei θ^??die Gleichungdτξη

dθ =0 erfüllen soll. Das bedeutet tan2θ^??=−σx−σy

2τ_xy (5.5)

Aus den trigonometrischen Formeln kann mancos2θ^??,sin2θ^??austan2θ^??

berechnen. Einsetzen voncos2θ^??,sin2θ^??in die TFB liefert die Extremalwerte der Schubspannungen (Hauptschubspannungen)

τmax=± r

σx−σy

2 2

+τ_xy² oder τmax=±1

2(σ₁−σ₂)

(27)

Anmerkungen:

(1) θ^??+^π/₂erfüllt ebenfallsdτξη

dθ =0. Demnach sind auch die Schubspannungen auf der Schnittﬂäche mitθ^??+ π

2 extremal.

(2) Die Richtungen 2θ^??und 2θ^?stehen senkrecht aufeinander, weil

tan2θ^??=−1/tan2θ^?. Deswegen sind die Richtungenθ^??(für extremale Schubspannungen) undθ^?(für extremale Normalspannungen) um 45^◦ zueinander geneigt: θ^??=θ^?±π/4 .

(3) Auf den Schnitten mit Winkelθ^??undθ^??+^π/₂verschwinden die Normalspannungen aber nicht. Diese nehmen das Mittel der Summe der Normalspannungen (auch eine Invariante) an.

σ_m= (σ_x+σ_y)/2= (σ₁+σ₂)/2

(28)

Die zu diesen Hauptrichtungenθ^??undθ^??+^π₂ gehörenden Spannungen lassen sich im Matrixformat und am Quadrat darstellen:

σ=

(x,y)

=

σ_m τ_max τ_max σ_m

(θ^??)

=

σ₁ 0 0 σ₂

(θ^?)

θ**

σ_m

σ_m σ_x

x σy

y

θ*

σ₂ σ₁

τxy

τmax

(29)

Beispiel 5.3 (TM2 Beispiel 2.1 b und c):

Der Spannungszustand eines Punktes in einem Blech wird durch Spannungen σx=−64 MPa,σy=32 MPa undτxy=−20 MPa imx,y-KOS gegeben. Es sind die Hauptschubspannungen und die ihnen zugehörigen

Schnittrichtungen zu bestimmen und an einem Quadratelement zu skizzieren.

56,3°

11,3°

Normalspannungσ Schubspannungτ

τmax=±52MPa, θ=56,3^◦,146,3^◦

(30)

§ 5.1.5 Mohrscher Spannungskreis

Der Mohrsche Spannungskreis ist eine graphische Darstellung der Transformationsbeziehungen und des Spannungszustandes.

! Man kann den Mohrschen Spannungskreis mitσ_x, σ_y, τ_xyzeichnen.

! Die Spannungskomponenten in einem beliebigen KOSσξ, ση, τξηsowie die Hauptspannungen, die Hauptrichtungen und die

Hauptschubspannungen können dann vom Kreis abgelesen werden.

σξ= ¹₂(σ_x+σ_y) +₂¹(σ_x−σ_y) cos2θ+τ_xysin2θ ση= ¹₂(σx+σy)−₂¹(σx−σy) cos2θ−τxysin2θ τ_ξη= −¹₂(σ_x−σ_y) sin2θ+τ_xycos2θ

(31)

Umordnen der Transformationsbeziehungen

σξ− 1

2(σ_x+σ_y) = 1

2(σ_x−σ_y) cos2θ+τ_xysin2θ τξη = −1

2(σ_x−σ_y) sin2θ+τ_xycos2θ Quadrieren und Addieren der Gleichungen liefert

h σξ−1

2(σ_x+σ_y)

| {z }

σm

i2

+τ_ξη² =

σx−σy

2 2

+τ_xy²

| {z }

r²

(σξ−σ_m)²+τ_ξη² =r² vs. (x−x₀)²+y²=r²

(32)

(σ−σ_m)²+τ²=r²

σ_m r

σ τ

Graphische Interpretation

! Kreis in einer(σ, τ)-Ebene

! Mittelpunkt(σ_m,0)

unabhängig vom KOS (Invari- ante)

σ_m= (σ_x+σ_y)/2

! Radius r, unabhängig vom KOS (Invariante)

r²=τ_xy² + (σ_x−σ_y)²/4

=τ_xy² −σxσy+ (σx+σy)²/4

(33)

Konstruktion des Mohrschen Spannungskreises mitσ_x, σ_y, τ_xy

Mohr (1835 – 1918)

τ

σ

τ_xy

σx

S_x

S_x: Schnitt mitσ_x,τ_xy

τxy

σ_y

Sy

Sy: Schnitt mitσ_y,τ_xy σ_m

(34)

Mohr (1835 – 1918)

τ

σ τ_xy

σx

S_x

τxy

σ_y

Sy

(35)

Mohr (1835 – 1918)

τ

σ τ_xy

σx

S_x

τxy

σ_y

Sy

Sy: Schnitt mitσ_y,τ_xy

σ_m

(36)

Mohr (1835 – 1918)

τ

σ τ_xy

σx

S_x

τxy

σ_y

Sy

(37)

Mohr (1835 – 1918)

τ

σ τ_xy

σx

S_x

τxy

σ_y

Sy

(38)

(x,y) (ξ, η) ϕ σ_y

σ_x τ_xy

σ_η σξ

τ_ξη

Drehung KOS:x

Drehung Mohrscher Kreis:

y

Winkel im Mohrschen Kreis:

2ϕ

Anwendung I: Ablesen der Spannungskom- ponenten in einem beliebigen KOSσξ, ση, τξη

τ

σ

τxy

σ_x Sx

τ_xy σy

S_y

σ_m

Sξ

Sη

2ϕ ση

σξ

τξη

(39)

(x,y) (ξ, η) ϕ σ_y

σ_x τ_xy

σ_η σξ

τ_ξη

Drehung KOS:x

y

2ϕ

τ

σ τxy

σ_x Sx

τ_xy σy

S_y

σ_m

Sξ

Sη

2ϕ ση

σξ

τξη

(40)

(x,y) (ξ, η) ϕ σ_y

σ_x τ_xy

σ_η σξ

τ_ξη

Drehung KOS:x

y

2ϕ

τ

σ τxy

σ_x Sx

τ_xy σy

S_y

σ_m

Sξ

Sη

2ϕ ση

σξ

τξη

(41)

(x,y) (ξ, η) ϕ σ_y

σ_x τ_xy

σ_η σξ

τ_ξη

Drehung KOS:x

y

2ϕ

τ

σ τxy

σ_x Sx

τ_xy σy

S_y

σ_m

Sξ

Sη

2ϕ ση

σξ

τξη

(42)

(x,y) (ξ, η) ϕ σ_y

σ_x τ_xy

σ_η σξ

τ_ξη

Drehung KOS:x

y

2ϕ

τ

σ τxy

σ_x Sx

τ_xy σy

S_y

σ_m

Sξ

Sη

2ϕ ση

σξ

τξη

(43)

(x,y) (ξ, η) ϕ σ_y

σ_x τ_xy

σ_η σξ

τ_ξη

Drehung KOS:x

y

2ϕ

τ

σ τxy

σ_x Sx

τ_xy σy

S_y

σ_m

Sξ

Sη

2ϕ

ση

σξ

τξη

(44)

(x,y) (ξ, η) ϕ σ_y

σ_x τ_xy

σ_η σξ

τ_ξη

Drehung KOS:x

y

2ϕ

τ

σ τxy

σ_x Sx

τ_xy σy

S_y

σ_m

Sξ

Sη

2ϕ ση

σξ

τξη

(45)

Beispiel 5.4

In einem Punkt liegt der folgende Spannungszustand

(Spannungskomponenten im (x,y)-KOS) vor. Ermitteln Sie die Spannungen im (ξ, η) Koordinatensystem (ϕ=35°).

σ_x=−11 MPa, σ_y=5 MPa, τ_xy=8 MPa

(46)

Lösung zu Beispiel 5.4 (σ_x=−11 MPa, σ_y=5 MPa, τ_xy=8 MPa)

σ τ

σ_y σ_x

τ_xy

S_y S_x

σ_m r

σ_m=−3 MPa r=√

128 MPa≈11,31 MPa Sξ

Sη

70°

σξ

σ_η τ_ξη

τξη

σξ=1,78 MPa ση=−7,78 MPa τ_ξη=10,25 MPa

(47)

σ τ

σ_y σ_x

τ_xy

S_y Sx

σ_m r

σ_m=−3 MPa r=√

Sη

70°

σξ

σ_η τ_ξη

τξη

(48)

σ τ

σ_y σ_x

τ_xy

S_y Sx

σ_m r

σ_m=−3 MPa r=√

Sη

70°

σξ

σ_η τ_ξη

τξη

(49)

σ τ

σ_y σ_x

τ_xy

S_y Sx

σ_m r

σ_m=−3 MPa r=√

128 MPa≈11,31 MPa

Sξ

Sη

70°

σξ

σ_η τ_ξη

τξη

(50)

σ τ

σ_y σ_x

τ_xy

S_y Sx

σ_m r

σ_m=−3 MPa r=√

Sη

70°

σξ

σ_η τ_ξη

τξη

(51)

σ τ

σ_y σ_x

τ_xy

S_y Sx

σ_m r

σ_m=−3 MPa r=√

Sη

70°

σξ

σ_η τ_ξη

τξη

(52)

Anwendung II: Ablesen der Extremalwerte

τ

σ σ_y

σ_x τ_xy

τxy

Sx

S_y

σm

σ₁

σ₂ 2θ^∗

(x,y)

θ^∗ σ_y

σ_x τ_xy

σ₂

σ₁

Hauptnormalspannungen:

σ₁ 0

0 σ₂

12

(53)

τ

σ σ_y

σ_x τ_xy

τxy

Sx

S_y

σm σ₁

σ₂

2θ^∗

(x,y)

θ^∗ σ_y

σ_x τ_xy

σ₂

σ₁

σ₁ 0

0 σ₂

12

(54)

τ

σ σ_y

σ_x τ_xy

τxy

Sx

S_y

σm σ₁

σ₂ 2θ^∗

(x,y)

θ^∗ σ_y

σ_x τ_xy

σ₂

σ₁

σ₁ 0

0 σ₂

12

(55)

τ

σ σ_y

σ_x τ_xy

τxy

Sx

S_y

σm σ₁

σ₂ 2θ^∗

(x,y)

θ^∗ σ_y

σ_x τ_xy

σ₂

σ₁

σ₁ 0

0 σ₂

12

(56)

τ

σ σ_y

σ_x τ_xy

τxy

Sx

S_y

σm σ₁

σ₂ 2θ^∗

2θ^∗∗

τ_max Hauptschubspannung:

τmax,θ^∗∗

S S⁰

(x,y)

θ^∗ σ_y

σ_x τ_xy

σ₂

σ₁

σ₁ 0

0 σ₂

12

(57)

Aus dem Mohrschen Spannungskreis kann man auch Formeln für die Extremalwerte ableiten

Hauptspannungen

σ₁,2= σx+σy

2 ±

s

σx−σy

2 2

+τ_xy² Hauptspannungsrichtung

tan2θ^∗= 2τ_xy σ_x−σ_y Hauptschubspannung

τ_max=± s

σx−σy

2 2

+τ_xy², θ^∗∗=θ^∗∓π 4

(58)

Beispiel 5.5

In einem Punkt liegt der folgende Spannungszustand vor. Ermitteln Sie die Hauptspannungen.

σ_x=−12 MPa, σ_y=6 MPa, τ_xy=6 MPa

(59)

σ τ

σ_y σ_x

τ_xy

S_y S_x

σ_m r

σ_m=−3 MPa r=√

117 MPa≈10,82 MPa

σ₁ σ₂

2θ^∗

σ₁=7,82 MPa σ₂=−13,82 MPa θ^∗=73,15°

(60)

σ τ

σ_y σ_x

τ_xy

S_y S_x

σ_m r

σ_m=−3 MPa r=√

117 MPa≈10,82 MPa

σ₁ σ₂

2θ^∗

σ₁=7,82 MPa σ₂=−13,82 MPa θ^∗=73,15°

(61)

Sonderfall I: Einachsiger Zug

σ₀

τ_max

σ_m σ₀

τ_max σ_m

45^◦

σ₀ 0 0 0

(x,y)

σ₁=σ₀ σ₂=0 σ_m=σ₀/2 τ_max=σ₀/2





 σ₀

2 −σ₀ 2

−σ₀ 2

σ₀ 2







(ξ,η)

(62)

Sonderfall II: Hydrostatischer Spannungszustand (isotroper Spannungszustand)

−σ₀

−σ₀ −σ₀

−σ₀ 0 0 −σ₀

(x,y)

σ₁=−σ₀ σ₂=−σ₀ σ_m=−σ₀ τ_max=0

−σ₀ 0 0 −σ₀

(ξ,η)

(63)

Sonderfall III: Reiner Schub

τ₀

−τ₀ τ₀ τ_max=τ₀

−τ₀ τ₀

45^◦

0 τ₀ τ₀ 0

xy

σ₁=τ₀ σ₂=−τ₀ σm=0 τ_max=τ₀

τ₀ 0 0 −τ₀

ξη

(64)

§ 5.1.6 Dünnwandige Kessel

Als Anwendungsbeispiel für den ebenen Spannungszustand betrachten wir zwei dünnwandige Kessel.

Ein dünnwandiger zylindrischer Kessel unter einem Innendruckp(TM2 Seite 62):

σ_x

σϕ σx

σ_x= pπr² 2πrt = pr

2t

σϕ

L

σϕ=2prL 2Lt = pr

t

(65)

Ein dünnwandiger kugelförmiger Kessel unter einem Innendruckp (TM2 Seite 64):

σ_t=σ_ϕ= pπr² 2πrt =pr

2t

(66)

§ 5.1.7 GGB der Spannungen

Die örtliche Änderung der Spannungen muss die GGB des inﬁnitesimalen Elements erfüllen.

P(x,y)

x y

dx/2 dx/2 dy/2

dy/2

f_y fx

τ_xy−∂τxy

∂x dx

2

τ_yx−∂τ_yx

∂y dy

2 σx−∂σx

∂x dx

2

σ_y−∂σ_y

∂y dy

2 σy+∂σ_y

∂y dy

2 τ_yx+∂τ_yx

∂y dy

2

σ_x+∂σ_x

∂x dx

2 τxy+∂τ_xy

∂x dx

2

Einheitsdicke dA_x=dy·1=dy dA_y=dx·1=dx dV=dxdy·1

=dxdy.

f= fxe_x+ fye_y ist die Volumen- kraft.

(67)

Das Momentengleichgewicht des Elementes liefert die Symmetrie des Spannungstensors

τ_xy=τ_yx

Das Kräftegleichgewicht inx- undy-Richtung liefert die Gleichgewichtsbedingungen des Spannungstensors:

∂σ_x

∂x +∂τxy

∂y +f_x=0

∂τ_yx

∂x +∂σ_y

∂y +fy=0

(68)

§ 5.2 Räumlicher Spannungszustand

§ 5.2.1 Matrixnotation und Voigtsche Notation

ΔA P

n

ΔF t

DerSpannungsvektorauf dem Punkt P wird als

t= lim

∆A→0

∆F

∆A = dF dA

deﬁniert, wobei∆Ader inﬁnitesimale Flä- cheninhalt am Punkt P ist, und∆Fdie auf der Fläche∆Awirkende innere Kraft.

(69)

ΔA P

n

ΔF

s t σ

τ

Der Spannungsvektortwird in eine Nor- malspannungσnormal zur Schnittﬂäche und eine Schubspannung τ tangential zur Schnittﬂäche zerlegt:

t=σn+τs,

wobeisein in der Fläche liegender Ein- heitsvektor ist. Es folgt

σ=t·n Aus|t|=√

σ²+τ²erhält man

τ = q

|t|²−σ²

(70)

x₁ x₂

x₃

t⁽¹⁾

x₁ x₂

x₃

t⁽²⁾ P

P

Der Spannungsvektor für den selben Punkt P ändert sich mit dem Schnittwinkel, also der Normalenn.

t⁽¹⁾bwz.t⁽²⁾stellt den Spannungsvektor am Punkt P in der Schnittﬂächex₂-x₃(Normale e₁) bwz. in der Schnittﬂächex₁-x₃(Normale e₂) dar. Diese müssen nicht gleich sein.

(71)

x₁ x₂

x₃

σ11

σ₁₂

σ13

t⁽¹⁾

x₁ x₂

x₃ σ22

σ₂₁ σ₂₃

t⁽²⁾ P

P

Zerlegung vont⁽¹⁾,t⁽²⁾in die Basisrichtungen des xiKOS:

t⁽¹⁾=σ₁₁e₁+σ₁₂e₂+σ₁₃e₃=σ_1jej

t⁽²⁾=σ₂₁e₁+σ₂₂e₂+σ₂₃e₃=σ_2jej

Analog dazu: Wenn man den Spannungsvektor am Punkt P im Schnitt in derx₁-x2Ebene (mit der Normalene₃) alst⁽³⁾darstellt, kann man diesen auch analog in die Basisrichtungen zerlegen und erhält:

t⁽³⁾=σ₃₁e₁+σ₃₂e₂+σ₃₃e₃=σ_3jej

In Indexnotation kann man schreiben:t⁽ⁱ⁾=σijej

Zur Kennzeichnung der Komponenten werden Doppelindizes verwendet: Der erste Index gibt jeweils die Richtung der Flächennormalen an, wäh- rend der zweite Index die Richtung der Span- nungskomponente charakterisiert.

(72)

Kommentare: Hier wird die Einsteinsche Summenkonvention angenommen:

wenn in einem Term der gleiche Index doppelt auftritt (so genannte stumme Indizes), ist zu summieren. Der Index durchläuft dabei der Reihe nach die Werte 1, 2, 3 bei 3D-Problemen, und bei 2D-Problemem die Werte 1, 2:

a_ib_i=P³

i=1

a_ib_i=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ (3D)

aibi=P²

i=1

aibi=a₁b₁+a₂b₂ (2D) a_ijb_j=a_i₁b₁+a_i₂b₂+a_i₃b₃ t⁽ⁱ⁾=σijej =σi1e₁+σi2e₂+σi3e₃

(73)

Wir stellen die drei Schnitte und die darauf wirkenden Spannungsvektoren (in Kompo- nenten) zusammen.

x₁ x3

x2

σ11

σ13

σ12

σ21

σ23

σ₂₂

σ31

σ₃₃ σ32

Für Punkt P

Als Alternative können die Komponenten auch in einer Matrix einsortiert werden.

[σ_ij] =





σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃ σ₂₁ σ₂₂ σ₂₃ σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃





xi−KOS

(74)

Anmerkungen

(1) Der Spannungswürfel bzw. die Matrix stellt die Spannungskomponenten eines Punktes auf drei Koordinatenebenen des KOS dar. Dieser Würfel, bzw. diese Matrix entspricht immer einem bestimmten Ortspunkt und einem bestimmten KOS. (Die Größe des Würfels spielt hier – im Unterschied zu einem inﬁnitesimalen Volumen – keine Rolle.)