Diskrete Mathematik Wintersemester 2013/2014

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Diskrete Mathematik Wintersemester 2013/2014

Steffen Reith

Steffen.Reith@hs-rm.de

Hochschule RheinMain

10. Oktober 2013

Steffen Reith Diskrete Mathematik 10. Oktober 2013 1 / 14

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Termine

Vorlesung:

Freitag 8¹⁵- 9⁴⁵ im H ¨orsaal UDE-D11

Ubung:¨

Mittwoch 10⁰⁰- 11³⁰ im H ¨orsaal UDE-D11

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Termine

Vorlesung:

Freitag 8¹⁵- 9⁴⁵ im H ¨orsaal UDE-D11

Ubung:¨

Mittwoch 10⁰⁰- 11³⁰ im H ¨orsaal UDE-D11

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Uber den Dozenten ¨

Prof. Dr. Steffen Reith, geboren 1968, verheiratet Seit Sommersemester 2006 an der FH Wiesbaden

Vorher t ätig als Softwareentwickler f ür kryptographische und mathematische Algorithmen f ür tief eingebettete System in KFZs.

Spezialgebiete: Komplexit ¨atstheorie, Logik in der Informatik und Kryptographie (Computational Number Theory)

Masterarbeiten: Kryptographie, Kryptographie f ¨ur eingebettete Systeme, paralleles Rechnen, Komplexit ¨atstheorie, Logik in der Informatik

EMail:

Steffen.Reith@hs-rm.de B ¨uro:

Raum C202

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Weitere Informationen zur Vorlesung

Webseite:http://www.cs.hs-rm.de/˜reith Literatur:

Werner Struckmann und Dietmar W ¨atjen, Mathematik f ¨ur Informatiker - Grundlagen und Anwendungen, Spektrum Akademischer Verlag, 2007

Rod Haggarty, Diskrete Mathematik f ¨ur Informatiker, Pearson Studium, 2004

Christoph Meinel und Martin Mundhenk, Mathematische Grundlagen der Informatik, Teubner, 2006

Ronald L. Graham, Donald E. Knuth und Oren Patashnik, Concrete Mathematics - A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, 1994

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Weitere Informationen zur Vorlesung

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Weitere Informationen zur Vorlesung

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Weitere Informationen zur Vorlesung

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Weitere Informationen zur Vorlesung (II)

Ersatztermine:

Werden Dienstags stattfinden Skript:

Wird in unregelm äßigen Abst änden auf der Webseite der Vorlesung ver öffentlicht (muss noch erstellt/verbessert werden).

Folien:

Einzelne (kleine) Teile der Vorlesung werden in Folienform zur Verf ügung stehen. Folien die vom Skript abweichen, werden auf der Webseite (nachtr äglich) zur Verf ügung stehen.

Eine eigene Mitschrift sollteangefertigtwerden!

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Ein roter Faden

In der Vorlesung werden die folgenden Themen untersucht:

1 Einleitung - Einige Beispiele ( ¨Uberabz ¨ahlbarkeit)

2 Z ¨ahlen

3 Permutationen, Zyklendarstellung, Satz von Cayley

4 Algebraische Strukturen und elementare Gruppentheorie

5 Elementare Zahlentheorie, Konkruenzen

6 Umwandlung rekursiver in explizite Gleichungen

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Ein roter Faden

2 Z ¨ahlen

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Ein roter Faden

2 Z ¨ahlen

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Ein roter Faden

2 Z ¨ahlen

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Ein roter Faden

2 Z ¨ahlen

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Spielregeln

Rechnerund Handys sind zu Beginn der Veranstaltungaus Wir (Dozent + H ¨orer) sindp ¨unktlich

Esredet nur eine Person

Bei Fragen und Problemensofort melden / fragen

Es wird Eigeninitiative und selbstst ¨andiges Arbeiten erwartet Eine Vorlesung ist keine (w ¨ochentliche) Fernsehserie

I Eine Vorlesung wird vonden H ¨orernund vom Dozentengestaltet

I aktive Mitarbeit erw ¨unscht und erforderlich

I Der Dozent will motiviert werden

I Umfangreiche Vor- und Nachbereitung notwendig

I Lernen kurz vor der Klausur ist t ¨otlich! (kontinuierliches Lernen) Vergessen Sie den (angeblichen) Konflikt von Theorie und Praxis

Was w ¨unschen Sie sich?

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Spielregeln

Was w ¨unschen Sie sich?

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Spielregeln

Was w ¨unschen Sie sich?

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Spielregeln

Was w ¨unschen Sie sich?

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Spielregeln

Was w ¨unschen Sie sich?

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Spielregeln

Was w ¨unschen Sie sich?

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Spielregeln

Was w ¨unschen Sie sich?

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Spielregeln

Was w ¨unschen Sie sich?

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Diskrete Mathematik - Einleitung

Informatik ist die Wissenschaft der (systematischen) Verarbeitung von Informationen.

F ¨ur ein tieferes Verst ¨andnis von Soft- und Hardwareentwicklung und dem Design von Algorithmen spielen

mathematische Methoden (z.B. Induktion) und

formale Beschreibungen und Modelle eine große Rolle.

Die meisten diese Begriffe besch ¨aftigen sich mathematischen Strukturen, dieabz ¨ahlbar unendlichoderendlichsind.

Zur diskreten Mathematik geh ¨oren (Teile) der:

Mathematische Logik Mengentheorie Graphentheorie Kombinatorik

Zahlentheorie Kodierungstheorie Kryptographie

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Diskrete Mathematik - Einleitung

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Ein Beispiel

Die”T ¨urme von Hanoi“ (nach Edouard Lucas, 1883): Gegeben ist ein Turm mit acht Scheiben auf drei St ¨aben:

A B C

Aufgabe: Bewege die Scheiben von A nach C, wobeinieeine gr ¨oßere

¨uber einer kleineren Scheibe liegen darf.

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Ein Beispiel

Die”T ¨urme von Hanoi“ (nach Edouard Lucas, 1883): Gegeben ist ein Turm mit acht Scheiben auf drei St ¨aben:

A B C

Aufgabe: Bewege die Scheiben von A nach C, wobeinieeine gr ¨oßere

¨uber einer kleineren Scheibe liegen darf.

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Die T ¨urme von Hanoi

Angeblich gibt es eine Legende:

Es gibt einen Turm mit64Scheiben aus Gold, die auf St ¨aben aus Diamant ruhen

Priester bewegen jeden Tag eine Scheibe nach folgenden Schema:

”Wenn Du den Turm der H ¨ohe n von X ¨uber Y nach Z bewegen sollst, dann

gib Deinem ältesten Lehrling den Auftrag einen Turm der H öhe n−1von X über Z nach Y zu bewegen,

verschiebe die letzte Scheibe von X nach Z und

gib Deinem ältesten Lehrling den Auftrag einen Turm der H öhe n−1von Y über X nach Z zu bewegen.“

Ist die Arbeit vollst ¨andig getan, dann geht die Welt unter.

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Die T ¨urme von Hanoi

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Die T ¨urme von Hanoi

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Die T ¨urme von Hanoi

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Die T ¨urme von Hanoi

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Die T ¨urme von Hanoi

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Die T ¨urme von Hanoi

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Wie lange haben wir noch zu leben?

Idee: Analysiere das Problem allgemein f ¨urnScheiben und ermittle wieviele Bewegungen notwendig sind.

Idee: Probiere f ¨ur kleinendie Anzahl der Scheibenbewegungen einfach aus.

Abk ¨urzung: [n,X,Y,Z]bedeutet

”bewege einen Turm der H ¨ohenvon X ¨uberYnachZ.

n # Bewegungen

n = 0 0

n = 1 1

n = 2 3

n = 3 7

SeiT:N→N, dann istT(n)die Anzahl der notwendigen Bewegungen bei einer Turmh ¨ohe vonn.

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Wie lange haben wir noch zu leben?

n # Bewegungen

n = 0 0

n = 1 1

n = 2 3

n = 3 7

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Wie lange haben wir noch zu leben?

n # Bewegungen

n = 0 0

n = 1 1

n = 2 3

n = 3 7

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Wie lange haben wir noch zu leben?

n # Bewegungen

n = 0 0

n = 1 1

n = 2 3

n = 3 7

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Wie lange haben wir noch zu leben?

n # Bewegungen

n = 0 0

n = 1 1

n = 2 3

n = 3 7

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Anzahl der Scheibenbewegungen

Klar:T(0) =0,T(1) =1,T(2)≤3 undT(3)≤7.

Mit der

”Arbeitsbeschreibung“ ergibt sich:

T(n)≤2T(n−1)

| {z }

“Lehrling“

+1,n>0

Unklar:T(n)=^? 2T(n−1) +1 (bessere Strategie?) Aber es sind mindestens

eine Scheibenbewegung durch den Meister

und zweimalT(n−1)Bewegungen durch den Lehrling notwendig.

Also gilt

T(n) =2T(n−1) +1(

”Rekurrenzgleichung“).

Test: T(3) = 2 T(2) + 1 = 4 T(1) + 3 = 8 T(0) + 7

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Anzahl der Scheibenbewegungen

Klar:T(0) =0,T(1) =1,T(2)≤3 undT(3)≤7.

Mit der

T(n)≤2T(n−1)

| {z }

“Lehrling“

+1,n>0

Also gilt

T(n) =2T(n−1) +1(

Test: T(3) = 2 T(2) + 1 = 4 T(1) + 3 = 8 T(0) + 7

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Anzahl der Scheibenbewegungen

Klar:T(0) =0,T(1) =1,T(2)≤3 undT(3)≤7.

Mit der

T(n)≤2T(n−1)

| {z }

“Lehrling“

+1,n>0

Also gilt

T(n) =2T(n−1) +1(

Test: T(3) = 2 T(2) + 1 = 4 T(1) + 3 = 8 T(0) + 7

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Anzahl der Scheibenbewegungen

Klar:T(0) =0,T(1) =1,T(2)≤3 undT(3)≤7.

Mit der

T(n)≤2T(n−1)

| {z }

“Lehrling“

+1,n>0

Also gilt

T(n) =2T(n−1) +1(

Test: T(3) = 2 T(2) + 1 = 4 T(1) + 3 = 8 T(0) + 7

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Anzahl der Scheibenbewegungen

Klar:T(0) =0,T(1) =1,T(2)≤3 undT(3)≤7.

Mit der

T(n)≤2T(n−1)

| {z }

“Lehrling“

+1,n>0

Also gilt

T(n) =2T(n−1) +1(

Test: T(3) = 2 T(2) + 1 = 4 T(1) + 3 = 8 T(0) + 7

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Anzahl der Scheibenbewegungen (II)

Theorem

Die T ürme von Hanoi mit n Scheiben ben ötigen T(n) =2ⁿ−1 Bewegungen zur L ösung.

Induktion ¨ubern.

(IA)Wennn=0, dannT(0) =2⁰−1=0 (IV)T(n) =2ⁿ−1

(IS)n→n+1:

T(n+1) = 2·T(n) +1

(IV)= 2·(2ⁿ−1) +1

= 2·2ⁿ−1

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Anzahl der Scheibenbewegungen (II)

Theorem

Die T ürme von Hanoi mit n Scheiben ben ötigen T(n) =2ⁿ−1 Bewegungen zur L ösung.

Induktion ¨ubern.

(IA)Wennn=0, dannT(0) =2⁰−1=0 (IV)T(n) =2ⁿ−1

(IS)n→n+1:

T(n+1) = 2·T(n) +1

(IV)= 2·(2ⁿ−1) +1

= 2·2ⁿ−1

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Fazit

Die Welt geht also in

2⁶⁴+1 Tagen ≈ 1.84·10¹⁹ Tagen

≈ 5.05·10¹⁶ Jahren unter.

Wir haben noch genug Zeit f ¨ur die Vorlesung!

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Fazit

Die Welt geht also in

2⁶⁴+1 Tagen ≈ 1.84·10¹⁹ Tagen

≈ 5.05·10¹⁶ Jahren unter.