Mechanik I / Prof. Popov / Vorlesung 1.

A

Ax

Ay

ex

ey

Mechanik I / Prof. Popov / Vorlesung 1. Literatur: Hauger, Schnell und Groß. Technische Mechanik 1 (Statik)

Vektoren, Vektoralgebra, Skalarprodukt.

Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt, Kräftegleichgewicht.

I. Übersicht der Mechanik-Kurse

II. Skalare und Vektoren

Skalare: Temperatur, Masse, Anzahl der Ge- genstände, Länge,...

Vektoren: Verschiebung, Kraft, Impuls, Ge- schwindigkeit, Beschleunigung,...

Bezeichnungen: A, A, A, Aoder einfach A Betrag: A A  A .

III. Summe von Vektoren C  A B

Vertauschbarkeit: A B  B A. Multiplikation mit einer Zahl:

dieselbe Richtung

C A

C A 

 ^{ }

  



Zerlegung eines Vektors:

Jeder Vektor kann als Summe anderer Vekto- ren dargestellt werden. Diese Zerlegung wird durch die Wahl von Referenzrichtungen ein- deutig.

x y

x

x x y y

y

A A A A e A e A

A

 

 

    

 

x 1

e  , e_y 1.

x x x

A  A e , A_y  A e_{y y}.

In drei Dimensionen:

 

x y z x x y y z z

x y z

A A A A A e A e A e

A A A

     



Summe von Vektoren in Komponenten:

   

x x y y x x y y

x x

x x x y y y

y y

A B A e A e B e B e A B A B e A B e

A B

    

  

        IV. Vektorielle Gleichungen

Was bedeutet die Gleichung AB?

x x

y y

A B

A B

   

   

     ^{x x}

y y

A B A B



 .

Was bedeutet die Gleichung A B 0? 0

0

x x

y y

A B

A B

     

 

     

      ^{ 0} 0

x x

y y

A B A B

 

  .

Das Vektorzeichen beim Nullvektor wird oft weggelassen. Unter einer Null in einer Vektorgleichung wird immer ein Nullvektor verstanden.

V. Produkte aus zwei Vektoren.

Es gibt drei Arten von Produkten, die sich nach dem Charakter des Ergebnisses unter- scheiden.

Skalarprodukt (Ergebnis ist ein Skalar): Ar- beit, Leistung.

Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) (Ergebnis ist ein Vektor): Magnetische Kraft, Kraftmo- ment, Drehimpuls.

Tensorprodukt (oder diadisches Produkt) (Er- gebnis ist ein Tensor): Trägheitsmoment u.a.

Definition des Skalarproduktes von zwei Vektoren A und B:

cos

A B AB  Englische Bezeich-

nung: dot product

B cos

A A .

cos

B A

A B BA

BA  AB

 

 

Eigenschaften des Skalarproduktes:

1) A B  B A

2) ^{A B C}





 

 

A B C A B C

 

  

A B

C _A ^B

Koordinaten (oder Komponenten) des Vektors

Ax

Ay

Az _A

A

B



A

B

 AB

A B

C





A B C AB AC A B A C

   

   

3) AB  A B 0 4) A A A²

VI. Skalarprodukt in Komponenten

Zwei Vektoren seien durch ihre kartesischen Komponenten gegeben:

x x y y z z

A A e A e A e ,

x x y y z z

BB e B e B e .

x x y y z z

A B A B A B A B . Für zwei gleiche Vektoren:

2 2 2 2

x y z

A A A A (Satz des Pythagoras) B1. In einem Dreieck sind die Seiten a, b und

der Winkel  zwischen beiden bekannt. Zu be- stimmen ist die dritte Seite und der Winkel . Lösung: Wir führen Vek- toren A, B und C ein. Es gilt: C B A. Zur Bestimmung der Seite c berechnen wir das Skalarprodukt des Vektors C mit sich selbst: ^{c2   C C}





2 2 2 2

2 2 cos

     

B B A A b ba a . Somit ist c b²2bacosa² .

Um den Winkel  zu bestimmen, berechnen wir das Skalarprodukt A C accos. Dar- aus folgt

 

cos  A C^  A B^{ }A  A B^{ }A 

ac ac ac

2

2 2

cos cos

2 cos

ab a b a

ac b ba a

 



 

 

  .

B2. Zwei Vektoren seien durch ihre Kompo- nenten gegeben:

3 A  1

  

 , ¹ B  3

  

 .

Zu bestimmen ist der Winkel zwischen den Vektoren.

Lösung: Aus der Definition des Skalarproduk-

tes folgt: 6

cos 0, 6

10 A B

  AB^   .  53,13°

VII. Kraft ist einer der Grundbegriffe der Mechanik. Die Einheit der Kraft, Newton [Nkg m s / ²], kommt aus der Dynamik.

Die Kraft ist ein gebundener, linienflüchtiger Vektor. Am einfachsten ist der Fall, wo alle Kräfte an einem Punkt angreifen: Zentrale Kräftegruppe.

VIII. Gleichgewicht Ein starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn die auf ihn wirkende Kraft gleich Null ist: F 0. Diese Gleichung ist äquivalent zu den drei Gleichungen:

x 0

F  , F_y 0 und F_z 0.

Oder: Die Summe aller an ihm angreifenden Kräfte ist gleich Null:

1

0

n i i

R F







1

0

n

x ix

i

R F







1

0

n

y iy

i

R F







1

0

n

z iz

i

R F







- eingeprägte Kräfte

- Zwangs- oder Reaktionskräfte

Reaktionskräfte werden durch Freischneiden sichtbar gemacht. Das Bild mit den eingetra- genen Kräften nennt man Freikörperbild.

Der Betrag der Reaktionskräfte ist von An- fang an nicht bekannt; die Richtung der Reak- tionskräfte kann man dagegen in meisten Fäl- len leicht bestimmen. Die Richtung der Reak- tionskraft ist immer die Richtung, in der die Bewegung verhindert ist.

B3. Eine Rolle (Gewicht G2 kN) wird auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel 45°) durch einen Faden (Neigungswinkel 30°) ge- halten. Zu bestimmen ist die Spannkraft des Fadens und die Druckkraft auf die Ebene.

x: Fcos Nsin0 y: FsinNcos G 0

cos sin sin sin 0

F  N   

sin cos cos cos cos

F  N   G  ^N













N  

     

 

  .









F  

     

 

  .

 

a

b c

A

B C

A B

