1. Klausur Mechanik II SS 2004, Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov

1. Klausur Mechanik II SS 2004, Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov

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1 2 3 4

5

T

1

(5 Punkte)

Eine Kugel der Masse m fliegt mit einer Geschwindigkeit v₀. Sie explodiert in zwei Teile. Die Einzelteile haben die Massen m₁ bzw.

m₂. Sie fliegen mit den Geschwindigkeiten v₁ bzw. v₂ unter den Winkeln α₁ bzw. α₂ zur urspr¨unglichen Flugrichtung auseinander.

Die Richtungen α₁ und α₂ sowie die Geschwindigkeit v₁ des einen Teils unmittelbar nach der Explosion werden gemessen. Bestimme die Massen der Teile und die nicht gemessene Geschwindigkeit v₂! Geg.: m, v₀, α₁ = ^π₂, α₂, v₁

α₁ α₂ m

m₁

m₂ v₀

v₁

v₂

2

(5 Punkte)

Ein Wagen mit der Massemhat im Punkt A die Geschwindigkeit v_A und rollt dann verlustfrei durch eine Senke. An der Stelle C steht ein Rammbock mit der Federkonstanten c.

(a) Welche Geschwindigkeit hat der Wagen im Punkt B?

(b) Wie weit hat sich die Feder des Rammbocks im Punkt C zusammengedr¨uckt, wenn der Wagen bei C zum Stillstand kommt?

Geg.: m, v_A,c, h, Erdbeschleunigung g

A

B C

h

v_A

c

3 (7+8 Punkte)

In einer F¨orderanlage befindet sich eine Rampe, auf der die zu bef¨ordenden Kisten (Masse m) herunterrutschen.

Am Ende der Gleitstrecke werden sie durch einen elasti- schen Anschlag (Federkonstantec) abgebremst. Zwischen Kiste und der Rampe kann Coulombsche Reibung mit dem Reibungsbeiwert µangenommen werden.

Geg.: m, g, s, c, µ,α

m g

s

x_F c

x x

α y

Beantworten Sie nachfolgende Fragen mit Hilfe derNewtonschen Axiome!

(a) Welche Zeitt₀ ben¨otigt die Kiste bis zum Ber¨uhren des Anschlages und welche Geschwindigkeit v₀ hat sie dabei, wenn sie aus der Ruhelage beix= 0 freigegeben wird?

(b) Wie groß ist der Federweg x_{F max}, der zum Abbremsen der Kiste auf die Geschwindigkeit Null notwendig ist? Die Massen des elastischen Anschlags sollen vernachl¨assigt werden.

(Hinweis: Benutzen Sie die Trennung der Variablen!)

4 (5+3+3+4 Punkte)

Eine Seilrolle mit dem Radius R rotiert mit konstan- ter Winkelgeschwindigkeit ω₀. Mittels eines Seils zieht sie einen Gleitklotz der Massem auf einer horizontalen star- ren Schiene AB. Das Seil soll als masselos und nicht dehn- bar angenommen werden. Der Reibungskoeffizient zwi- schen dem Klotz und der Schiene ist µ.

Geg.: m, h, Rr, ω₀, µ,ϕ

m

h B A

R

r µ

e_x e_y

e_r e_ϕ

ω₀ ϕ

(a) F¨ur die Bedingung ˙r =−ω₀R beweisen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen gelten:

ϕ˙ = ω₀Rsin²ϕ hcosϕ

ϕ¨= ω₀²R²

h² sin²ϕ tanϕ[tan²ϕ+ 2]

(b) Geben Sie f¨ur den Massepunkt die Beschleunigungskomponenten a_runda_ϕin Polarkoordinaten an.

(c) Transformieren Sie die Beschleunigung in kartesische Koordinaten und geben Sie die Beschleu- nigungskomponentena_x und a_y an.

(d) Berechnen Sie die Seilkraft F_s. Die Gewichtskraft des Klotzes ist zu vernachl¨assigen.

Theorieaufgaben (je 1 Punkt)

1. Gegeben sei der Ortsvektor r(t) =x(t)e_x(t) +y(t)e_y(t) +z(t)e_z(t).

Geben Sie den Geschwindigkeitsvektor v(t) an!

v(t) = ˙r(t) =

2. Die Lage eines PunktesP wird in Polarkoordinaten (r, ϕ) beschrieben. Wie lautet die Beschleu- nigung des Punktes in der Basise_r, e_ϕ?

a_P =

3. Welche Beschleunigung hat der skizzierte Klotz, wenn er zum Zeitpunkt t = 0 die Anfangsge- schwindigkeit v₀ besitzt? Bitte ankreuzen!

gegeben:µ, g,m, v₀

x g

m v₀

µ

x¨=mg x¨=−µg x¨= 0 x¨=µg 4. Der Arbeitssatz K₂−K₁ =A ist g¨ultig f¨ur:

konservative Kr¨afte nicht konservative Kr¨afte Der Energieerhaltungssatz K₂+U₂ =K₁+U₁ ist g¨ultig f¨ur:

konservative Kr¨afte nicht konservative Kr¨afte Bitte die richtigen Aussagen ankreuzen!

5. Ein stehender G¨uterwagen (m₁ = 20t) wird durch einen anderen G¨uterwagen (m₂ = 30t) mit einer Geschwindigkeit von v₂ = 5km/h gerammt. Welche Geschwindigkeit ergibt sich, wenn die Wagen nach dem Zusammenstoß miteinander zusammengekoppelt sind? Reibung soll ver- nachl¨aßigt werden.

6. Bestimmen Sie mit Hilfe des Arbeitssatzes den Bremsweg eines Autos, der n¨otig ist, um seine kinetische Energie auf ¹₃ des Anfangswertes zu reduzieren.

Gegeben:µ, g, m,v

7. Wie wird die physikalische Gr¨oße

t2

t1

F(t) dt bezeichnet, wenn F eine Kraft und t die Zeit ist?

Impuls Arbeit Kraftstoß Leistung Kraftmoment

8. An einer masselosen Stange sind zwei Massen m₁ und m₂ befestigt. Geben Sie den Energiesatz an, wobei das Nullniveau der potenziellen Energie bei ϕ =π/2 liegen soll.

Gegeben:m₁, m₂, g, a, ϕ g

m₁

m₂ a a ϕ

9. An einem masselosen und undehnbaren Seil h¨angt die Masse m₁. Am anderen Ende befindet sich die Masse m₂, die reibungsfrei auf der Unterlage gleitet. Mit welcher Beschleunigung f¨allt die Massem₁?

g

m₁ y m₂

a₁ =

10. Ein Fadenpendel wird aus der H¨ohe h₀ losgelassen. Im Fall a) erreicht es auf der anderen Seite die maximale H¨ohe h₁. Im Fall b) st¨oßt der Faden in der vertikalen Position auf ein Hindernis und erreicht dabei die maximale H¨ohe h₂. Der Luftwiderstand ist zu vernachl¨assigen.

Wie verhalten sich die H¨ohen h₀, h₁ und h₂ zueinander? Bitte die richtige Antwort ankreuzen!

a)

g

h₀ h₁

b) g

h₀ h₂

h₂ < h₁ < h₀ h₀ =h₁ =h₂ h₂ < h₁ =h₀ h₂ =h₁ < h₀