2. Klausur Mechanik II WS 2005/2006, Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov
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T 1 2 3 P
1
(Bekannte Aufgabe)(4+6 Punkte)
An einem anfangs ruhenden Stab ist eine Kreisscheibe befestigt, die erst mit der konstanten Winkel- geschwindigkeitω2rotiert, und dann pl¨otzlich durch einen inneren Mechanismus blockiert wird.
(a) Geben Sie den Drehimpuls des Gesamtsystems vor und nach der Blockierung und bezogen auf A an, alsoLAvor undLAnach. Berechnen Sie daraus die Winkelgeschwindigkeit des Systems unmittel- bar nach der Blockierung, also ω1. Hinweis: Es gilt hierLAvor =LBvor, das braucht nicht bewiesen zu werden.
(b) Berechnen Sie die kinetische Energie des Systems nach der Blockierung und damit den maximalen Winkel, bis zu dem das Pendel ausschl¨agt. Neh- men Sieω1 als gegeben an, setzen Sie nicht das Ergebnis des Aufgabenteils (a) ein! Tipp: Ener- giesatz.
A
B m1, J1
g
m2, J2 ω2
ω1
ϕ 2r
r
Geg.: Massentr¨agheitsmomente bezogen auf die Massenmittelpunkte von Stab bzw. KreisscheibeJ1, J2, Massenm1,m2,r,ω2,g.
Achtung:Die Verh¨altnisse zwischen den gegebenen Gr¨oßen, wie sie im Original aus dem Aufgaben- katalog gegeben sind, gelten hier nicht und d¨urfen nicht eingesetzt werden.
2 (4+8+5 Punkte)
Ein K¨orper K mit der Masse m ist ¨uber eine Feder und einen D¨ampfer mit dem Anregungskolben A verbunden, der eine vorgegebene schwingende Bewegungu(t) ausf¨uhrt.x(t) bezeichnet die Verschiebung des K¨orpers K gegen den span- nungslosen Ruhezustand. Im Ruhezustand gilt f¨ur den An- regungskolben A:uRuhe= 0.
Geg.:m,d,k,u(t) = ˆucos Ωt, ˆu, Ω
x
u(t) k
d
K A
(a) Stellen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung des skizzierten Systems auf.
(b) Bestimmen Sie die Schwingungsamplitude|ˆx|des K¨orpers K im eingeschwungenen Zustand als Funktion der Erregerkreisfrequenz Ω.Tipp:Verwenden Sie geeignete Abk¨urzungen.
(c) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf dieser Abh¨angigkeit bei kleinen D¨ampfungen. Geben Sie explizit die Werte an f¨ur Ω = 0 und Ω =q
k m.
3 (6+5+2 Punkte)
Zwei ¨uber Seile verbundene R¨ader werden mit einem an- geh¨angten Gewicht beschleunigt. Seile und Umlenkrolle sei- en masselos, die Seile undehnbar und immer straff. Die R¨ader stehen am Beginn der Bewegung still und rutschen danach immer (kein reines Rollen).
Geg.:m,J,µ,r,h,g
m, J m, J
m g
µ µ
h r
r
(a) Geben Sie die Beschleunigung der Massenmittelpunkte der R¨ader als Funktion der Zeit an.
(b) Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit des linken und des rechten Rades zu dem Zeitpunkt an, an dem sich das Gewicht um die H¨ohehaus der Ruhelage abgesenkt hat.
(c) Welche Werte darf der Reibbeiwertµannehmen, damit die Annahme erf¨ullt ist, daß die R¨ader immer rutschen?
Theorieaufgaben (je 1 Punkt)
1. Geben Sie die Maßeinheiten folgender Gr¨oßenausschließlichin den Einheiten 1, kg, m und s an:
Eigenkreisfrequenzω
Schwingsamplitude ˆwder Verschiebung einer Punktmasse Massentr¨agheitsmoment bezogen auf den MomentanpolJA zeitliche ¨Anderung des Drehimpulses ˙L
Leistung eines DrehmomentsPM
2. Eine Scheibe R rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeitω2um die horizontale Achse AB.
Zudem rotiert das System um die vertikale Achse OA mit ebenfalls konstanter Winkelgeschwin- digkeitω1.
Wie h¨angt die ZugkraftSim Seil CD von der Winkelgeschwin- digkeitω1ab?
Kreuzen Sie bitte das richtige Diagramm an!
ω1
S
ω1
S
ω1
S
A B
C D
R
a b
g
O ω1
ω2 45o
3. Wie groß sind die Massentr¨agheitsmomente des skizzierten Systems bez¨uglich der Achsenx,y, z? (Die Massen sind als Massenpunkte zu betrachten.)
J
x= J
y= J
z=
x z y
l l
l l
m
m m m
4. Welche ArbeitAhat ein Motor mit dem konstanten DrehmomentM an die Welle abgegeben, wenn er sie eine Umdrehung gedreht hat?
A =
5. Zwei Punktmassen umkreisen einander im festen Abstand 2Rmit kon- stanter und gleicher Geschwindigkeit. Ein kompletter Umlauf dauertT. Geben Sie die kinetische EnergieEan.
Geg.:m,R,T
E =
m m
2R
6. Die starre Kugel (m,J) dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeitω, ihr Schwerpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeitv(ebenes Pro- blem). Geben Sie den Drehimpuls der Kugel in Bezug auf den ru- henden Punkt A an!
Geg.:a,b,m,J,v,ω
L
A=
v ω
a
b
A
7. Ein Rad (Radiusr) rollt in einer ebenen Bewegung wie dargestellt auf dem Boden ab (reines Rollen). Wie groß ist die Geschwindigkeit vom Punkt B, wenn die Geschwindigkeit vom Punkt A mitvA(gegen¨uber dem Boden) vorgegeben ist?
r
vA
v
B=
B
A
8. Die Verschiebung des Punktes A ist mituA(t) = ˆucos Ωtvorgegeben. Skizzieren Sie den Ver- lauf der Amplitude|ˆx|vonx(t) im eingeschwungenen Zustand als Funktion der Anregungsfre- quenz Ω! (Schwache D¨ampfung, D¨ampfungsgradD¿1)
k
m x(t)
A
ˆ u
q
km
Ω
|ˆ x|
9. Die Differentialgleichung der freien Einmassenschwingung lautet
¨
x+ 2δx˙+ω20x= 0
Was ist notwendig, damit man den abgebildeten Zeitverlauf erh¨alt? (bitte ankreuzen)
δ >1 δ <1
δ > ω0 δ < ω0
2δ > ω0 2δ < ω0
x
t
10. Eine Scheibe dreht sich um den Koordinatenursprung. Der Drehwinkel ist gegeben mitϕ(t) = at2. Bestimmen Sie f¨ur den an der Scheibe befestigten Punkt A diex-Komponentex¨Ades Beschleunigungsvektors!
A L x y ϕ
Geg.:ϕ(t) =at2,a= konst.,L
