1. Klausur Kontinuumsmechanik — WiSe 2011/2012 Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov

1. Klausur Kontinuumsmechanik — WiSe 2011/2012 Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov

Dieser Kasten ist vor der Bearbeitung der Klausurvollst¨andigundlesbarauszuf¨ullen!

Nachname Vorname

Studiengang Matrikelnummer

Aufgabe 1 2 3 4 Σ 1 - 4 5 Korrektor in

erreichte Punkte / 40 / 10

Die Klausur umfasst 5 Aufgaben. Die Klausur gilt als bestanden, wenn mindestens 20 von 50 Punkten erreicht werden. Dabei muss Aufgabe 5 (Kurzfragen) mit mind. 5 von 10 Punkten bestanden werden.

Tragen Sie die Ergebnisse desKurzfragenteils direkt auf dem Klausurblattein, nur diese Eintragun- gen werden ber¨ucksichtigt! Es werdenalleRechenaufgaben gewertet. Bitte sauber schreiben, unlesbare L¨osungen werdennichtbeachtet.

1

(3+1+2+2=8 Punkte)

Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreisf¨ormigem Quer- schnitt tr¨agt an seinem Ende eine Einzelmasse (Masse m, Tr¨agheitsmoment Θ_Sbzgl. des Schwerpunkts). Geeignete Anfangs- bedingungen lassen den Stab um seine L¨angsachse schwingen.

Geg.:l,m, Θ_S,G,I_p,A,ρ,r G, I_p, A, ρ

m, Θ_S r ϑ(l) x

y z

l

(a) Geben Sie die partielle Differentialgleichung f¨ur die freie Torsionsschwingung an (Herleitung nicht erforderlich) und ¨uberf¨uhren Sie diese mit Hilfe eines Separationsansatzes in 2 gew¨ohnliche Differen- tialgleichungen.

(b) Wie lauten die allgemeinen L¨osungen dieser gew¨ohnlichen Differentialgleichungen?

(c) Formulieren Sie die geometrischen und die dynamischen Randbedingungen.

(d) Stellen Sie die Frequenzgleichung auf.

2

(3+2+4+4+2=15 Punkte)

Ein elastischer l¨angshomogener Stab (L¨ange l, Elasti- zit¨atsmodulE, Querschnittsfl¨acheA, Dichteρ) f¨uhrt er- zwungene Longitudinalschwingungen aus. Der Stab ist reibungsfrei gelagert. Am rechten Ende greift eine har- monische KraftF(t) =F₀cos Ωtan, am linken Ende ist eine EinzelmasseMangebracht, die ¨uber eine linear ela- stische Feder der Steifigkeitkbefestigt ist.

E,A,ρ

F(t) x,u

l M

k

Die Feder ist f¨uru(0, t) = 0 entspannt. Unter Vernachl¨assigung der D¨ampfung soll die Bewegung im einge- schwungenen Zustand untersucht werden. Verwenden Sie die Abk¨urzungenc²:=^E_ρ,λ:=^Ω_c.

(a) Schneiden Sie ein infinitesimales St¨uck Stab heraus und leiten Sie anhand dessen die das Problem beschreibende partielle Differentialgleichung her.

(b) Verwenden Sie den Ansatzu(x, t) =V(x) cos Ωtund leiten Sie die gew¨ohnliche Differentialgleichung inxher. Geben Sie deren allgemeine L¨osung an.

(c) Geben Sie die Randbedingungen des Systems an. ¨Uberf¨uhren Sie sie in Bedingungen anV(x).

Betrachten Sie ab hier den Fallk→ ∞(unendlich steife Feder).

(d) Bestimmen Sie die L¨osung f¨uru(x, t) im eingeschwungenen Zustand und geben Sie die Resonanzkreis- frequenzen des Systems an.

(e) Bestimmen Sie die Verschiebung des rechten Endesu(x=l, t) f¨ur die Grenzf¨alle Ω→0 und Ω→ ∞. Geg.:F₀, Ω,M,k,l,E,A,ρ

3

(2+2+2+4+1=11 Punkte)

Abgebildet ist ein Wasserbecken (BreiteB, Gesamtl¨angeL) mit ei- nem Anfangswasserstandh₀. Im unteren Bereich ist ein großes Fen- ster (Breiteb, H¨ohea) zu Beobachtungszwecken eingelassen. Das Wasser sei inkompressibel (Dichteρ) und reibungsfrei. Beachten Sie die Z¨ahlrichtung der Koordinatez.

(a) Skizzieren Sie den Verlauf des Druckesp(z), der im Inneren des Beckens auf das Fenster wirkt f¨urz∈(^a₂,^3a₂) und geben Siep(^a₂) undp(^3a₂) an.

p₀

h₀

B b

a a

2 a2

z g

ρ

(b) Die Verbindung zwischen Fenster und Becken kann eine maximale KraftF_Kaushalten. Bei welcher F¨ullhoheh_maxwird diese Kraft in der Verbindung erreicht?

(c) Nehmen Sie an, das Fenster sei an der Unterkante undicht, so dass dort ein Spalt (Spaltmitte bei z=^a₂) der Breitebund der H¨ohesentstehe. Bestimmen Sie mit Hilfe derBernoullischen Gleichung f¨ur einen Stromfaden die Austrittsgeschwindigkeitv_A(h) unter der Annahme, dass der Wasserspiegel nicht absinkt.

(d) Verwerfen Sie die Annahme des nicht-sinkenden Wasserspiegels und bestimmen Sie nun mit Hilfe des in (c) bestimmtenv_A(h) und der Kontinuit¨atsgleichung die Geschwindigkeit des sinkenden Wasserspiegels v_S(h) und die ZeitT, die vergeht bis der Wasserspiegel die Oberkante des Fensters beiz=^3a₂ erreicht hat.

(e) Fertigen Sie eine qualitative Skizze f¨ur den Verlauf der F¨ullh¨oheh(t) mitt∈(0, T) an. Geben Sie Anfangs- und Endwert an.

Geg.:p₀,g,h₀,B,L,b,a,s,ρ,F_K

4

(2+4=6 Punkte)

Im Gravitationsfeld wird ein kreisrundes Rohr (RadiusR, Neigungswinkel gegen¨uber der Horizontalenα) betrachtet, durch das eine Newtonsche Fl¨ussigkeit (dynamische Viskosit¨atη, Dichteρ) fließt. Es soll von station¨arer, laminarer Str¨omung ausgegangen werden. Der Druckp=p(x) sei nur vonxabh¨angig.

(a) Schneiden Sie einen koaxialen Zylinder mit Radiusrund L¨ange dxfrei und tragen Sie alle Kr¨afte und Spannungen an, die das Str¨omungsprofil beeinflussen.

(b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsverlaufv(r) und passen Sie ihn an die Randbedingungen an. Der Druckgradient^∂p_∂xsei bekannt.

Geg.:R,ρ,η,α,g,^∂p_∂x

ρ,η

g α

R

x r v(r)

5 Kurzfragen 10 Punkte

1. Geben Sie die Maßeinheiten folgender Gr¨oßenausschließlichin den Einheiten 1, kg, m und s an:

Massenbelegung einer Saiteμ Eigenkreisfrequenzω MassentromJ

Geschwindigkeitsgradient^∂v_∂y^x

2. Betrachten Sie einen einseitig fest eingespannten, l¨angshomogenen linear elastischen Stab mit kreisrun- dem Querschnitt als schwingf¨ahiges System. Vergleichen Sie die Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten der Longitudinalwellenc_Lund der Torsionswellenc_T im System. Tragen Sie das korrekte Vergleichs- symbol ein.

(<,>, =) c_L c_T

3. Betrachten Sie eine Saite (Dichteρ, L¨ange 3l, Querschnittsfl¨acheA) unter der VorspannkraftS. Die Anfangsauslenkungw(x,0) ist skizziert, die Anfangsgeschwindigkeit ist Null. Geben Sie die ZeitTan, die vergeht bis die Saite das erste Mal wieder in ihrer Anfangskonfiguration ist.

T=

ρ,A S

3l x

z,w

Geg.:l,A,ρ,S,w(x,0) =w_A(x), ˙w(x,0) = 0

4. F¨ur die erzwungenen Schwingungen eines Kontinuums wurde die folgende L¨osung im eingeschwunge- nen Zustand bestimmt:

w(x, t) =M₀c_B 2EIΩ

⎛

⎝sin

cΩBx sin

cΩBL−sinh

cΩBx sinh

cΩBL

⎞

⎠cos Ωt

Geben Sie die Erregerkreisfrequenzen Ω_R,nan, f¨ur die Resonanz auftritt.

Ω_R,n= Geg.:M₀,c_B,EI,L

5. Eine rechteckige Membran (Breiteb, H¨ohea, Dichteρ) ist mit der Span- nungσ₀gespannt. Die Membran seit_Mdick. Welche Maßnahmen f¨uhren zu niedrigeren Eigenfrequenzen des Systems? Kreuzen Sie an.

aundbvergr¨oßern

Das Verh¨altnis^σ_ρ⁰vergr¨oßern

σ₀vergr¨oßern Dichteρvergr¨oßern

ρ a

b

σ₀ σ₀

6. F¨ur den abgebildeten l¨angshomogenen Balken der L¨angelsoll die zweite Biegeeigenform skizziert werden. Ber¨ucksichtigen Sie die Randbedingungen.

E,I,ρ,l x

z,w

l w

7. Ein kugelf¨ormiger K¨orper mit RadiusRschwimmt in einer Fl¨ussigkeit der Dichteρ_F. Es wirkt das Gravitationsfeldg. Wie groß muss die mittlere Dichteρ_Kdes K¨orpers sein, damit er grade zur H¨alfte eingetaucht ist?

ρ_K= Geg.:R,ρ_F,g

8. Ein offener Strahl eines reibungsfreien Fluids (Dichteρ, Breited₀) trifft mit der Geschwindigkeitv₀ unter dem Winkelαauf eine feste Wand und wird in zwei Teile aufgespalten. Der Strahl sei ¨uber die L¨angeLsenkrecht zur Zeichenebene ausgedehnt. Die Str¨omung sei station¨ar, es herrsche keine Gravitation. Geben Sie die Geschwindigkeiten der Teilstrahlenv₁undv₂an.

v₁=

v₂= ρ

v₀

v₁

v₂ d₀ d₁

d₂ p₀

e_x e_y

α

Geg.:ρ,d₀,v₀,α,p₀,L

9. Ein Teil eines Leitungssystems hebt sich wie dargestellt um die H¨oheH. Skizzieren Sie den Druckver- lauf vonp₁nachp₂uber¨ z∈(0, H).

A

A z z

H H

g

p(z)

1

2

v₁,p₁

v₂,p₂

Geg.:A,v₁,H

10. Eine Schicht einesNewtonschen Fluids (Dichte ρ, dynamische Viskosit¨atη, Schichtdicket) fließt unter Gravitationgmit der Geschwindigkeit

v_x(y) = ρ g

√2η

t y−y² 2

inx-Richtung (ebene Str¨omung). Geben Sie den Verlauf der Schubspannungτ(y) an.

τ(y)=

Geg.:ρ,η,t,g