Mechanik I / Prof. Popov / Vorlesung 11.

Mechanik I / Prof. Popov / Vorlesung 11. Seile und Ketten I. Seile und Ketten

Neben starren Körpern werden als Lastauf- nehmende Elemente oft auch Seile oder Ket- ten benutzt. Ein ideales Seil kann keinen Querkräften oder Biegemomenten widerste- hen (Q0,M 0). Die Schnittkräfte sind daher stets entlang der Biegelinie des Seils gerichtet.

Ketten kann man als eine Reihe von starren Stäben betrachten, die mit einander gelenkig verbunden sind. Die auf die Kette wirkenden Kräfte verteilen wir auf die benachbarten Knoten. Wie in einem idealen Fachwerk, wir- ken dann alle Stabkräfte in der Kette in der Richtung der Stabachse.

Trägt ein Seil vernach- lässigbaren Gewichts mehrere Einzelkräfte, nimmt es die Form mehrerer geradliniger Stücke an.

II. Seil unter Wirkung einer Streckenlast Greifen am Seil mehrere parallel gerich- tete Kräfte, kann man es annähernd als kontinuierlich mit einer Streckenlast

( ) d / d

q x  F x belastet ansehen.

Betrachten wir ein infinitesi- mal kleines Element des Seils zwischen x und xdx. Die Spannkraft des Seils am rechten Ende des Elements bezeichnen wir mit S x( d )x , am linken En- de S x( ). Beide sind tangential zur Hängelinie des Seils gerichtet. Kräftegleichgewicht:

x: H x( d )x H x( )0, y: V x( d )x V x( )q x x( )d 0.

Aus der ersten Gleichung folgt H x( )konst, die wir als H bezeichnen: H x( )H.

Die zweite Gleichung ergibt ( d ) ( ) d ( )

d d ( )

V x x V x V x

x x q x

    (1)

Das Momentengleichgewicht haben wir be- reits früher benutzt. Aus ihm folgt, dass die Seilkräfte in der Seilrichtung wirken oder ma- thematisch ausgedrückt: ( ) d

( ) tan d

V x y

H x   x. Daraus folgt

d d

( ) ( )

d d

y y

V x H x H

x x

  . (2)

Indem wir die Gleichung (2) in (1) einsetzen, erhalten wir

2

2 ( )

H d y q x

dx  oder

2 2

d ( )

d

y q x

x  H oder y ^{q x( )}

  H . (3) Berechnen wir die Form des Seils bei einer konstanten Streckenlast q x( )q₀, wie es an- nähernd bei einer Hängebrücke der Fall ist, gilt:

2 0 2

q d y

dx  H . Die erste Integration ergibt

0 0

1 1

d d

d

q q

y x C x C

x 



 

2 0

1 2.

2

y x q x C dx C H

q x C x C H

 

    

  



(4)

Die Konstanten C₁ und C₂ werden aus zu- sätzlichen geometrischen und anderen Bedin- gungen bestimmt.

B1. Gegeben seien die Länge der Hängebrü- cke L und der Durchhang h. Zu bestimmen ist

die Form des Seils und die maximale Seil- kraft.

Lösung: Zählen wir die Koordinate x von der Mitte der Brücke und y vom tiefsten Durch- hangpunkt. Dann gilt: y(0)0, y(L/ 2)h und y L( / 2)h. Einsetzen x0 in (4) ergibt

2 0

C  . Einsetzen x L/ 2 in (4) ergibt

2 0

( / 2) 1

8 2

q L L

y L C h

  H   ,

2 0

( / 2) 1

8 2

q L L

y L C h

 H   . 0

x

Daraus folgt C₁0 und

2 0

8 h q L

 H . Die Form des Seils ist somit ^{y x}

 

 L .

Die horizontale Komponente der Seilkraft ist konstant und gleich

2 0

8 H q L

 h . Die Seilkraft berechnen wir gemäß

2 2

2 0

2

1 1 8

8

q L hx

S H y

h L

 

       .

Sie erreicht ein Maximum in den Punkten / 2

x L :

2 2 0 max

1 4 8

q L h

S h L

 

     .

III. Seil unter Eigengewicht

Gegeben sei ein Seil mit konstanter linearer Massen- dichte d / dm l. Schneiden wir ein infinitesimal klei- nes Element des Seils zwischen den Koordinaten x und xdx frei. Auf dieses Element wirkt die Schwerekraft

d d 0d

dF m g  l g q l, wobei wir die Bezeichnung q₀ g eingeführt haben. Be- zogen auf das Intervall dx ergibt das die Stre- ckenlast q x( ), die auf das Seil wirkt:

0

d d

( ) d d

F l

q x q

x x

  .

Nach dem Pythagoras-Satz gilt

2

2 2 d

d d d d 1

d

l x y x y

x

 

     

  . Für die Streckenlast erhalten wir somit

2 0

( ) 1 d d q x q y

x

 

   

  .

Einsetzen in Gleichung (3) ergibt

2 2 0 2

d d

d 1 d

q

y y

x H x

 

     . (5) Die Form des Seils ergibt sich aus der Lösung dieser nicht linearen Differentialgleichung mit gegebenen geometrischen Randbedingungen.

IV. Ein bißchen Mathematik: Exponential- funktion und hyperbolische Funktionen

Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyper- bolicus werden de- finiert als

sinh 2

x x

e e x

 

 ,

cosh 2

x x

e e x

 

 .

Die so definierten Funktionen haben folgende Eigenschaften:









Warum heißen diese Funktionen Sinus und Kosinus und warum Hyperbolicus?

Hyperbolicus: Die normalen Sinus und Kosi- nus-Funktionen werden auch Kreisfunktionen genannt. Die Gleichungen xcos,

sin

y  definieren in parametrischer Form einen Kreis mit dem Radius r 1. Das sieht man daran, dass x²y² sin²cos²1 eine Kreisgleichung darstellt.

Die Gleichungen xcosh, ysinh defi- nieren in parametrischer Form eine Hyperbel.

Das sieht man daran, dass x²y² 1 eine Hyperbelgleichung darstellt.

Sinus und Kosinus: Die sogenannte Eulersche Formel für imaginäre Exponente lautet:

cos sin

ei^  i , wobei i 1 Daraus folgt e^i cosisin.

Summieren beider Gleichungen ergibt

 

cos cosh

2

i i

e e

i

 

 ^{ }   ,

 

sin sinh

2

i i

e e

i i

 

 ^{ }   . Umgekehrt gilt

 

cos i coshund ^sin

 

 

Dieser Zusammenhang von hyperbolischen und Kreisfunktionen erklärt die Namen Sinus

und Kosinus in bei- den Fällen. Auf dem nebenstehenden Bild können Sie den Ver- lauf einer Parabel und einer Kosinus Hyper- bolicus-Kurve ver- gleichen.