Aufgaben zu linearen Funktionen

Aufgaben zu linearen Funktionen

1 Bestimmen Sie, welche der Punkte P(1/-1), Q(-1/1), R(-2/3) und S(3/-7) auf der Geraden g mit dem y- Achsenabschnitt –1 und der Steigung -2 liegen.

Falls der Punkt nicht auf der Geraden g liegt, überlegen Sie jeweils, ob er oberhalb oder unterhalb der Geraden g liegt.

2 Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch P geht und die Steigung m hat.

a) P(2/5) m = 3 b) P(4/-2) m = 0 c) P(-3/1) m = -1 d) P(1,5/0,5) m = -4

3 Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P und Q geht.

a) P(4/4) und Q(6/7) b) P(0/-3) und Q(-1/-4) c) P(2/4) und Q(0/6) d) P(-1,5/0) und Q(1,5/-6) 4 Ermitteln Sie, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen.

a) A (5/3), B (-10/0), C (1/2,2) b) A (-3/8), B (2,5/-7), C (2/-5)

5 Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die zu der Geraden mit der Gleichung parallel ist und die y-Achse in schneidet.

6.0 Gegeben sind die Punkte P(-0,5/3,4) und Q(2,5/1).

6.1 Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktion g, die durch die Punkte P und Q geht.

Teilergebnis: g: y = -0,8x + 3

6.2 Berechnen Sie die Schnittpunkte dieser Funktion g mit den Koordinatenachsen.

6.3 Zeigen Sie, dass die Gerade h mit der Gleichung h: y = 1,25x - 4 senkrecht auf der Geraden g steht.

6.4 Bestimmen Sie eine Gerade s, die parallel zur Geraden h verläuft und durch den Punkt Q(-2/-5) geht.

6.5 Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geraden s und h mit der Geraden g.

y=−3 4x+3

8 P(0 /6

7)

7 Geben Sie die Funktionsgleichungen der abgebildeten Geraden an.

8.0 Ebru möchte wissen, wie hoch der Wasserverbrauch beim Baden ist. Deshalb füllt sie zunächst einen Eimer mit Wasser und stellt fest, dass pro Minute 10 l Wasser fließen.

8.1 Geben Sie eine Funktionsgleichung an, die diesen Sachverhalt beschreibt.

8.2 Zeichnen Sie den Graphen der Funktion.

8.3 Bestimmen Sie anhand der Zeichnung den Zeitpunkt, zu dem sich 30 l Wasser in der Wanne befinden und überprüfen Sie den Wert rechnerisch.

8.4 Ebru lässt das Wasser 12 Minuten laufen. Geben Sie den Wasserverbrauch an und markieren Sie den Punkt am Graphen.

9.0 Die Downloadgeschwindigkeit soll annähernd als konstant angenommen werden.

9.1 Ermitteln Sie, wie lange der Download einer 15 MB großen Datei dauern würde, wenn die Downloadrate 1,1 MB/sec beträgt.

9.2 Geben Sie eine Funktionsgleichung an, die die Downloaddauer in Abhängigkeit der Dateigröße beschreibt.

9.3 Von einer großen Datei wurden in einer Minute 75 % heruntergeladen. Berechnen Sie, wie lange der Download noch dauert.

10 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Nullstellen und geben Sie außerdem den jeweiligen y-Achsenschnittpunkt an.

a) b) c)

11 Untersuchen Sie die durch die Funktionsgleichungen gegebenen Geraden f und g auf gemeinsame Punkte und berechnen Sie alle reellen Werte von x, für die die Gerade f oberhalb der Geraden g verläuft.

12.0 Die drei Geraden mit den Funktionsgleichungen

schließen ein Dreieck ein.

12.1 Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch die Eckpunkte des Dreiecks.

12.2 Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

13 Gegeben sind die beiden Geraden g und h mit den Gleichungen und

.

Bestimmen Sie alle Werte von m, für die der Schnittpunkt der beiden Geraden g und h im III. Quadranten des Koordinatensystems und oberhalb der Geraden mit der

Gleichung y = -3 liegt.

14.0 Maria möchte sich nach bestandener Führerscheinprüfung ein Auto kaufen.

Sie hat sich im Internet informiert und nach dem Benzinverbrauch erkundigt.

Drei Modelle gefallen ihr sehr gut, von denen sie die untenstehenden Daten

ermittelt hat. Maria ist sich unsicher, welches Auto im Unterhalt am wirtschaftlichsten ist.

Fixkosten im Monat Variable Kosten je km

Modell A 260 € 0,14 €

Modell B 190 € 0,24 €

Modell C 220 € 0,18 €

14.1 Stellen Sie für die drei Automodelle die Funktionsgleichungen der Gesamtkosten auf.

14.2 Zeichnen Sie die Graphen der drei Kostenfunktionen in ein geeignetes Koordinatensystem.

14.3 Berechnen Sie, bei welcher Kilometerzahl je zwei Modelle zu gleich hohen Kosten führen.

f(x)=3

2x−4 f(x)=−2(x−1) f(x)=2

3x+3 2

a) f(x)=3 4x−27

4 g(x)=x−8 b) f(x)=3

4x+7

2 g(x)=−3 4x+13

2 c) f(x)=2x+2 g(x)=2x+6

f(x)=−2x+4, g(x)=2x−2 undh(x)=4

g(x)=2x+3 h(x)=mx−3,D=!,m∈!

14.4 Welches Modell empfehlen Sie, wenn je Monat 800 km mit dem Auto gefahren wird ? 14.5 Empfehlen Sie Maria für unterschiedliche Kilometerzahlen jeweils das passende Modell.

15.0 Lisa, Serdal und Max fahren mit dem Auto zu ihrem Praktikumsbetrieb. Es gibt drei gebührenpflichtige Parkplätze in der Umgebung. Auf dem Parkplatz P1 zahlt man 2 € pro begonnener Stunde. Die Parkkosten für P2 sind durch die Gerade in der Abbildung dargestellt. Auf P3 kann man nur ein Tagesticket für 7,50 € kaufen.

15.1 Geben Sie für die drei Parkplätze jeweils eine Funktionsgleichung an, die die Parkgebühren in Abhängigkeit von der Parkdauer beschreibt. Geben Sie auch die jeweiligen Definitionsmengen an.

15.2 Übertragen Sie die Abbildung in Ihr Heft und zeichnen Sie die Graphen für P1 und P3.

15.3 Lisa parkt ihr Fahrzeug für fünf Stunden auf P1, Serdal stellt sein Auto für ebenfalls fünf Stunden auf P2 ab.

Berechnen Sie mithilfe der in 15.1 ermittelten Gleichungen, um welchen Betrag sich die beiden anfallenden Parkgebühren voneinander unterscheiden.

15.4 Beim Verlassen von P2 zahlt Max 6,50 € an Parkgebühr.

Berechnen Sie, wie lange sein Fahrzeug dort abgestellt war.

15.5 Lesen Sie aus der Zeichnung ab, wie lange man mindestens auf P3 parken muss, damit die Kosten geringer als auf P1 bzw. P2 sind.

16.0 Um 13:42 Uhr fährt am Bahnhof Astadt ein Güterzug A mit der Geschwindigkeit in Richtung des Bahnhofs Beburg ab. Zur gleichen Zeit fährt vom 175 km entfernten Bahnhof Beburg auf dem Gegengleis ein Schnellzug B mit einer

Geschwindigkeit von in Richtung Astadt ab.

16.1 Berechnen Sie, in welcher Entfernung sA von Astadt sich der Güterzug A um 15:42 Uhr befindet und stellen Sie seine Fahrt in einem t-s-Diagramm dar.

16.2 Ermitteln Sie, welche Fahrzeit der Schnellzug B bis nach Astadt benötigt und stellen Sie auch seine Fahrt im Diagramm dar.

16.3 Entnehmen Sie Ihrem Diagramm Zeitpunkt und Ort, zu dem sich die beiden Züge begegnen und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse rechnerisch.

17 Herr Müller macht einen Ausflug mit dem Auto von insgesamt 60 km Länge mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 40 km/h.

Die Fahrt besteht aus drei Abschnitten:

Die ersten 15 km fährt er mit einer Geschwindigkeit von 25 km/h.

Die nächsten 30 km fährt er mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h.

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit der Herr Müller den letzten Teil der Strecke fahren muss.

18.0 Die Abbildungen zeigen die Weg-Zeit-Diagramme eines Fahrzeugs.

Entscheiden Sie begründet, welche der folgenden Aussagen für das jeweilige Diagramm im Zeitintervall zutreffen.

18.1 Das Fahrzeug bewegt sich mit der konstanten Geschwindigkeit von 25 km/h.

18.2 Das Fahrzeug legt 15 m zurück.

18.3 Das Fahrzeug bewegt sich mit zunehmender Geschwindigkeit.

18.4 Das Fahrzeug fährt verspätet los.

v_A=35km h

v_B=125km h

i i

⎡⎣ ⎤⎦0;6

19.0 Die Abbildung zeigt den graphischen Fahrplan eines Zuges.

19.1 Bestimmen Sie, wie lange der Zug auf seiner Fahrt gehalten hat.

19.2 Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten auf den Teilstrecken.

19.3 Ermitteln Sie, mit welcher konstanten Geschwindigkeit der Zug fahren müsste, wenn er das Ziel in derselben Zeit erreichen will.

20.0 An eine Spiralfeder werden verschiedene Gewichtsstücke gehängt. Dabei wird jeweils die Auslenkung s gemessen. Petra erhält folgende Messreihe:

Gewichtskraft F in N 0 1 2 3 4

Auslenkung s in cm 0 6,5 13 19,5 26

20.1 Überprüfen Sie die Tabelle auf Quotientengleichheit.

20.2 Zeichnen Sie mithilfe der Tabelle den Graphen der Funktion

Gewichtskraft Auslenkung in untenstehendes Koordinatensystem.

20.3 Begründen Sie, dass die Funktion linear ist und geben Sie die Funktionsgleichung an.

20.4 Ermitteln Sie, welche Auslenkung sich für eine Gewichtskraft von 5,5 N ergibt.

20.5 Bestimmen Sie, welche Gewichtskraft sich bei einer Auslenkung von 15 cm ergibt.

→

21.0 Eine Alkoholmenge wird mit einem Tauchsieder erhitzt.

Jede Minute wird die Temperatur gemessen und in einer Tabelle festgehalten.

Zeit t (in min) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Temeperatur T (in °C) 20 35 50 62 70 75 77 78 78 21.1 Überprüfe die Tabelle auf Quotientengleichheit.

21.2 Zeichnen Sie mithilfe der Tabelle den Graphen der Funktion Zeit Temperatur in untenstehendes Koordinatensystem.

21.3 Begründen Sie, ob die Funktion linear ist.

21.4 Äußern Sie sich zum Verhalten ab der 8. Minute.

→

Lösungen 1. g: y = -2x –1 (P liegt oberhalb der Geraden g) , und

3a)

Bestimmung von t: Punkt P1 einsetzen

b)

Punkt P2 einsetzen:

c) d)

4a) Gerade durch die Punkte A und B bestimmen:

Punkt B einsetzen:

Liegt Punkt C auf der Geraden ?

C (1/2,2) einsetzen:

Die drei Punkte liegen auf einer Geraden.

P∉g

Q∈g R∈g S∈g 2a) f(x)=3x−1

2b) f(x)=−2 2c) f(x)=−x−2 2d) f(x)=−4x+6,5

m=7−4 6−4=3

2 ⇒y=3 2x+t

⇒4=3

2⋅4+t ⇒ t=−2

⇒ y=3 2x−2 m=−4−(−3)

−1−0 =−1

−1=1 ⇒y=x+t

⇒ −4=−1+t ⇒t=−3

⇒y=x−3 m=6−4

0−2= 2

−2=−1 ⇒y=−x+t

⇒y=−x+6 m= −6−0

1,5−(−1,5)=−6

3 =−2 ⇒y=−2x+t P(−1,5/ 0) einsetzen: 0=−2(−1,5)+t ⇒t=−3

⇒y=−2x−3

m= 3−0 5−(−10)= 3

15=1

5 ⇒y=1 5x+t

⇒ 0=1

5⋅(−10)+t t=2

⇒g: y=1 5x+2

2,2=1

5⋅1+2 ⇒2,2=2,2 ⇒C∈g

4b) Gerade durch die Punkte A und C bestimmen:

Punkt A einsetzen:

B(2,5/-7) einsetzen:

Die drei Punkte liegen nicht auf einer Geraden.

5.

6.2 N(3,75/0) und S(0/3)

6.3 die Gerade h steht senkrecht auf der Geraden g 6.4 s: y = 1,25x – 2,5

6.5

7.

m=8−(−5)

−3−2 =13

−5=−13

5 ⇒y=−13 5 x+t 8=−13

5 ⋅(−3)+t ⇒t=1 5

⇒h: y=−13 5 x+1

5

−7=−13

5 ⋅2,5+1

5 ⇒ −7=−6,3 ⇒B∉h

y=−3 4x+6

7

(−0,8)⋅1,25=−1⇒

h∩g: 1,25x−4=−0,8x+3 ⇒x=317 41 ⇒y=1,25⋅317

41−4=11

41 ⇒S(317 41/11

41) s∩g: 1,25x−2,5=−0,8x+3 ⇒x=228

41 ⇒y=1,25⋅228

41−2,5=35

41 ⇒S(228 41/35

41)

f(x)=−2,5x+4 g(x)=−4x−5 h(x)=1 4x+2 i(x)=3

4x−1,5 j(x)=−1

3x k(x)=−2,5

8.1

8.2

8.3 Nach drei Minuten befinden sich 30 Liter Wasser in der Wanne.

8.4

9.1

9.2

9.3

10a)

10b) 10c)

y=10x

10x=30 ⇒x=3

y=12⋅10=120

Nach 12 Minuten hat man 120 Liter Wasser verbraucht.

15

1,1=13,63 sec y= x

1,1

Gesamtdauer des Downloads: 60⋅100

75 =80 sec Der Download dauert noch 20 Sekunden.

3

2x−4=0 ⇒x=8

3 S_y(0 /−4)

−2(x−1)=0 ⇒x=1 S_y(0 /2) 2

3x+3

2=0 ⇒x=−9

4 S_y(0 /1,5)

11a)

11b)

11c)

12.1

3 4x−27

4 =x−8 ⇒ −1 4x=−5

4 ⇒x=5 3

4x−27

4 >x−8 ⇒ −1 4x+5

4>0 Skizze von−1

4x+5 4:

⇒x∈ −∞;−5⎤⎦ ⎡⎣

3 4x+7

2=−3 4x+13

2 ⇒3 2x=5

2 ⇒x=5 3 3

4x+7 2>−3

4x+13 2 ⇒3

2x−5 2>0 Skizze von3

2x−5 2:

⇒x∈ 5 3;∞

⎤

⎦⎥ ⎡

⎣⎢

2x+2=2x+6 ⇒0=4 ⇒kein gemeinsamer Punkt 2x+2>2x+6 ⇒0>4 (f)

Es gibt kein x∈!, so dass die Gerade f oberhalb der Geraden g verläuft.

−2x+4=2x−2 ⇒ −4x=−6 ⇒x=1,5 ⇒(1,5/1)

−2x+4=4 ⇒ −2x=0 ⇒x=0 ⇒(0 / 4) 2x−2=4 ⇒2x=6 ⇒x=3 ⇒(3/ 4)

12.2 13.

14.1

14.2

A_Dreieck=1

2⋅(3−0)⋅(4−1)=9 2

2x+3=mx−3 ⇒2x−mx=−6 ⇒(2−m)x=−6

⇒x= −6

2−m für m≠2

Schnittpunkt sollimIII.Quadrantenliegen, d.h. die x-Koordinate und die y-Koordinate müssen negativ sein:

1) x-Koordinate ist negativ für m < 2 2) y-Koordinate y = 2⋅ −6

2−m

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+3= −12

2−m+3(2−m)

2−m =−6−3m 2−m (2−m) für m < 2 ⇒ −6−3m

2−m <0, wenn−6−3m<0 ⇒m>−2

⇒ −2<m<2

−6−3m

2−m >−3 ⇒ −6−3m>−3(2−m) (da(2−m)>0 für m<2)

⇒ −6−3m>−6+3m ⇒ −6m>0 ⇒m<0

⇒ −2<m<0

Modell A : y=0,14x+260

ModellB: y=0,24x+190 mit x gefahrene Kilometer Modell C : y=0,18x+220

14.3

14.4 Bei einer Kilometerleistung von 800 km pro Monat ist Modell C zu empfehlen.

14.5 Bis 500 km pro Monat ist Modell B am günstigsten, zwischen 500 km und 1000 km pro Monat Modell C und ab 1000 km pro Monat Modell A.

15.1

15.2

15.3

15.4

Modell A undModellB:

0,14x+260=0,24x+190 ⇒ −0,1x=−70 ⇒x=700 km Modell A undModell C :

0,14x+260=0,18x+220 ⇒ −0,04x=−40 ⇒x=1000 km ModellB undModell C :

0,24x+190=0,18x+220 ⇒ −0,06x=−30 ⇒x=500 km

P1: y=2x x∈⎡⎣ ⎡⎣0;∞

P2: y= 5

11x+3 x∈⎡⎣ ⎡⎣0;∞

P3: y=7,5 x∈⎡⎣0;24⎤⎦

Lisa: y=2⋅5=10€

Serdal: y= 5

11⋅5+3=58 11€ Unterschied:10−58

11=52 11€

5

11x+3=6,5 ⇒x=7,7

Das Auto von Max war 7,7 Stunden am Parkplatz P2 abgestellt.

15.5 Man muss mindestens vier Stunden auf P3 parken, damit die Kosten geringer als auf P1 sind und mindestens zehn Stunden auf P3, damit die Kosten geringer als auf P2 sind.

16.1

16.2

16.3

Güterzug A : y=35x

⇒y=35⋅2=70 km

Schnellzug B: y=−125x+175

⇒ −125x+175=0 ⇒x=1,4

Der Schnellzug B braucht 1,4 Stunden von Beburg nach Astadt.

35x=−125x+175 ⇒160x=175 ⇒x=1,09

Die Züge begegnen sich nach etwa 1,09 Stunden, also um etwa 14:47 Uhr in einer Entfernung von 35⋅1,09=38,15km von Astadt.

17

18.1 Diagramm 1 und Diagramm 3 18.2 Diagramm 1

18.3 kein Diagramm 18.4 Diagramm 3

19.1

19.2

19.3

20.1

Erster Teil: t₁=s₁

v₁ =0,6 h Zweiter Teil: t₂= s₂

v₂ =0,5h Dritter Teil: t_ges=60

40=1,5h ⇒t₃=0,4 h

s_ges=60 km ⇒s₃=60−15−30=15km

⇒v₃= 15

0,4=37,5km h

1 6+ 1

12=1

4 Der Zug hat auf seiner Fahrt insgesamt 0,25 h gehalten.

v₁=20 1 3

=60km

h v₂=0km

h v₃=70−20 1 2

=100km h v₄=0km

h v₅= 80−70 3 2−1 1

12

=24 km h

v= 80−0

1,5−0≈53,3km h 1

6,5=0,15 2

13=0,15 3

19,5=0,15 4

26=0,15

20.2

20.3 Das Schaubild ist eine Gerade, also ist die Funktion linear.

20.4

20.5

21.1

21.2

21.3 Das Schaubild ist keine Gerade, also ist die Funktion nicht linear.

21.4 Der Alkohol beginnt zu sieden.

s(F)=6,5⋅F

s(5,5)=6,5⋅5,5=35,75 cm 15=6,5⋅F ⇒F= 15

6,5=2,3N

1

35=0,029 2

50=0,04 3

62=0,048 4

70=0,057 5

75=0,067 6

77=0,078 7

78=0,090 8

78=0,105